トリボナッチ数列の一般項の求め方について

質問

トリボナッチ数列のn番目の項をT(n)と表記することにします。
T(n+3)＝T(n）＋T(ｎ+1）＋T(n+2)…(1)
T(1)＝T(2)=T(3）＝1とします。

ｘ＾3＝ｘ＾2＋ｘ＋1の解をA,B,Cとすると、解と係数の関係から
A+B+C=1
AB+BC+CA＝-1
ABC=1

(1)からT(n+3）＝（A＋B+C）T(n+2)-（AB+BC+CA）T(n+1)＋ABCT(n)…(2)
(2)からT(n+3)-（B+C）T(ｎ+2)+BCT(n+1)＝A｛T（ｎ+2）-（B+C)T(n+1)+BCT(n)｝
よってT(n+3)-（B+C)T(n+2)+BCT(n+1)＝A＾ｎ｛T(３）-（B+C)T(2)+BCT(1)｝
＝A^ｎ（1-B-C+BC)＝A^n(A+1/A)

これは（A、B、C）を（B、C、A)、（C、A、B）に置き換えても成り立ち
それぞれの式をI、II、IIIとします。I+II+IIIを求めると
3T（ｎ+3）-2T(n+2)-T(n+1)＝A^n(A+1/A)+B^n(B+1/B)+C^ｎ（C+1/C）

このｎに０～n-2まで代入して和をとると
３T(n+1)+T(n)-3T(2)-T(1)＝Σ[0～ｎ-2]｛A^n(A+1/A)+B^n(B+1/B)+C^n(C1/C)｝
右辺は項比がAかBかCの等比数列とみて計算できます。

こうしてT(n+1)＝aT(n)+(定数）+（ｎを指数にもつ式）
の形に表せるのですが、この式から一般項を求める方法がわかりません。
I、II、IIIを連立する方法もありますがこの式からはもとめられないのでしょうか？
どなたか教えてくださるとありがたいです。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

T(n+1)＝aT(n)+(定数）+（ｎを指数にもつ式）

ここまでできたのなら後は簡単でしょう。

T(n+1)＝aT(n)+K+F(n)
とすれば、

T(n)＝aT(n-1)+K+F(n-1)
aT(n-1)＝a^2T(n-2)+aK+aF(n-2)
a^2T(n-2)＝a^3T(n-3)+a^2K+a^2F(n-3)
・・・・・
a^(n-3)T(3)＝a^(n-2)T(2)+a^(n-3)K+a^(n-3)F(2)
a^(n-2)T(2)＝a^(n-1)T(1)+a^(n-2)K+a^(n-2)F(1)
これらを足すと、
T(n)＝Σ[i=0～n-2](a^iK+a^iF(n-1-i))+a^(n-1)T(1)

F(n)がnを指数にもつ式なら、a^iF(n-1-i)もn,iを指数にもつ式なので計算可能です。