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数列の極限3題(大学1年レベル)

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お礼率 53% (212/400)

大学1年レベルの数列の極限の問題です。
(i)   a_1 = 1, a_n = 1 / (1 + a_n-1)
(ii)  a_1 > 0, a_n = √(3 + a_n-1)
(iii)  x_1 = (1/2)(c + a/c), x_n = (1/2)(x_n-1 + a/x_n-1)  (a,c>0)

(i),(ii)についてはa_n,a_n-1を共にaと置いて出てくる2次方程式の解のうち、
初項>0から±の+の方を取ったのが極限値になることはなんとなく記憶にあるのですが
それをどう導出するか思い出せません。(iii)に関しては手も足も出ません。
よろしくお願いします。
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回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

3題とも同じ方法で解けます。
(i)について
taropooさんのおっしゃる二次方程式は
(1) x^2+x-1=0
ですね。この正の解をαとします。0<α<1に注意。
以下、a_n をanと書きます。

|a(n+1)-α|=|1/(1+an)-α|=|(1-α-αan)/(1+an)|

=|(α^2-αan)/(1+an)| (∵ (1)より 1-α=α^2)

=|α/(1+an)|×|an-α|

ここで r=|α/(1+an)| とおくと、結局

|a(n+1)-α|=r|an-α| となり、これを繰り返し用いて

|a(n+1)-α|=r^n|a1-α| となります。

両辺のnを無限にとばすと 0<r<1 より(∵ an>0,0<α<1)

lim|a(n+1)-α|=0 ∴ lim an=α  

(ii)について
ポイントだけ書きます。
x^2-x-3=0 の正の解をαとすると
|a(n+1)-α|=|√(3+an)-α|=|(3+an-α^2)/(√(3+an)+α)|
ここで3-α^2=-α を代入して、あとは(i)と同じです。

(iii)について
同じように2次方程式を作ればいいんですよ。
x^2=a となるので α=√a ですね。
ところで相加相乗平均よりxn≧√aなので

0≦x(n+1)-√a=...=(xn-√a)^2/(2xn)=r(xn-√a)

ここで r=(xn-√a)/(2xn) は 0<r<1 ですので
(∵ xn-√a>2xn とするとすぐに矛盾が生じるのでr<1です。)
求める極限値は√aとわかります。
補足コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

返事が遅くなってしまってゴメンナサイ。

r=|α/(1+an)|

とおく事に抵抗があるのですが。
つまり、こう置くとrはnによる事になり一定値ではなくなります。
と言う事は

|a(n+1)-α|=r^n|a1-α|

と言うのはおかしい気がするのですが。
いかがですか?
投稿日時 - 2001-06-05 01:52:49


  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

すいません、ボケてました。taropooさんのおっしゃるとおりです。
下の私の回答のrを rn と書かせてください。
(ii)については rn=1/(√(3+an)+α) とします。
面倒なので、絶対値の中身がすぐに正だと分かるものは絶対値をはずします。

(i)について
rn=α/(1+an)<α ですので
|a(n+1)-α|=r|an-α| < α|an-α|
よって 0≦|a(n+1)-α| < α^n|a1-α|
nを無限にとばすと右辺は0にいくのではさみうちの原理より
O.K.ですね。

(ii)について
an>√3 ですので 
rn< 1/(√(3+√3)+α) (=rとおく)
0<r<1 よりあとは(i)と同じようにすればよいと思います。

(iii)について
rn < 1/2 がすぐ分かるので(i)と同じようにはさむことができます。
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

OKです。すっきりしました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-05 20:19:20
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