極限

質問

a(1)=1,a(n+1)（←添え字です）=a(n)÷{a(n)+3}、の漸化式で与えられる数列について、初項が上に書いてあるように１であるときはこの数列の極限値は０であるというのはグラフで考えても納得いくのですが、初項が例えば-4のときはグラフで考えてみると-∞に発散すると思うのですが、漸化式を解いて極限値を調べてみると初項が１の時と同じく０に収束するという結果になってしまったのですが、どちらが正しいのでしょうか？？？？
長文失礼しました。

回答No.1

propon2334 · ベストアンサー

説明分かりにくくてすいません。グラフを辿りながら読んでください。
a(n+1)=a(n)÷{a(n)+3}
なので、
(1)y=1-3/(x+3)
のグラフ(漸近線x=-3,y=1の双曲線。ただし(0,0)を通る)と、
(2)y=x
のグラフを引きます。

初期条件x=-4のとき、(1)上で(-4,4)なので、a(2)=4
次にこの点をx軸正方向に平行移動して(2)との交点(4,4)まで線分を結ぶ。
(4,4)からy軸負方向に平行移動すると(1)上の点(4,4/7)に到達する。すなわちa(3)=4/7

これを繰り返すと
a(1)=-4
a(2)=4
a(3)=4/7
a(4)=4/25
…となってa(n)→0となります。

回答No.2

endlessriver

a(n+1)=a(n)/{a(n)+3}が収束するなら、極限をaとしてa=a/(a+3)から解は０と－２となります。後者の例はa1=-2です。
そこで帰納法により、an>0とするとa(n+1)=1-{3/(an+3)}からa(n+1)>0が見つけられます。またa1<-3であればa2>0がわかり、結局a1<-3かa1>0ならばan>0が結論されます。
これらは今回の質問の条件です。

an>0ならば0<a(n+1)<1となり有界です。
つぎに帰納法よりa(n+1)<anを仮定してa(n+2)-a(n+1)を計算すればこれも負になり、初期条件をみたせば減少数列になり、結局収束することになります。

今回の初期条件ではこれでよいのですが実はanの一般項が求められます。それは帰納法で
a(n+1)=a1/{bn・a1+3^n} , bn=(3^n-1)/2
で求められます。
これを計算すると極限は０か－２になることが結論されます。

ただし、この式の分母が０となるときの初期値a1のときにはあるan項が計算不能となります。たとえばa1=-9/4でa3が計算不能です。

概略の計算では任意のnに対して-3<=a1<-2の間で計算不能となるある初期値a1があることになります。