連立方程式の解き方は？PART2

質問

３つの異なる整数a、b、cと、整数kの連立方程式a＋b＋c＝0…（１）
ab＋bc＋ca＝－13…（２）
abc＝－k…（３）
を満たす組（a、b、c、k）をすべて求めよ。

この問題で、とりあえず（１）、（２）から
a^2＋b^＋ab＝13
となり、因数分解できず、行き当たりばったりの発想で、移行して
a^2＋b^2＝13－ab≧0
（a＋b）^2＝13＋ab≧0
から－13≦ab≦13としてみても絞りきれず、
また思いつきで
（a＋b/2）^2＝13－3/4b^2≧0からb＝－4～4と出しても候補が多いです。
そこで解答を見ると、異なる整数を|a|≧|b|≧|c|としておき、
いきなりa^2＋b^2＋c^＝26を求め、a^2≧b^2≧c^2から3c^2≧26よりc^2＝4、1、0に絞ってました。 しかも解説には、「一般的な解法」とありました。

たしかにこれで解けますが、
・なぜこのようないきなりa^2＋b^2＋c^2考えようとしたのでしょうか。
・なぜ今の私の方針は不完全なのでしょうか。

すみませんが教えてください…

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

一般的というほど、誰でも知っていたりできたりするかは？？？ですが…

まず第一に、(1)(2)(3)の左辺が全部対称式なので、対称性を活かしたい。たまに、文字を消去した方が、早いこともあるのですが、このくらいキレイに対称式してる奴は、キレイさを活かした方が、一般的には有利です。

第二に、質問者さんが、ご自身で考えた過程に書いているように、二乗の和の形にすると、絞込みやすくなることが多い。これが使えないかと考えると、(1)(2)の左辺から、すぐ作れて、何と美味しい話なのか、右辺は定数だけになってしまう。これはシメた、と思わなきゃ嘘です^^

(1)(2)(3)を使って、a^3+b^3+c^3 の形もつくれますが、３乗の和だと、１つ１つがマイナスになることもあるので、絞り込むには不向きな上、右辺に、未知数kが残るので、仮に絞り込めるとしても、個数が多かったり面倒だったり。そういう意味で、質問者さんの最初の行き当りばったりは、前半の欠点はないものの、後半の欠点は同じ。

こう考えると、この問題については、a^2+b^2+c^2の形を作るという発想へは、一本道とまでは言えなくても、最初に考えないといけない、いくつかの選択肢の一つには入れてないといけないのは、お解りになると思います。

ただし、見た目が似た感じの問題があって、それがいつでもこの手で解ける、というほど、一般的かは、疑問です。

お礼

ありがとうございます。対称性を使えばいいこと、またA^2＋B^2＋C^2を使えばそれが使いやすいことがわかり、応用が効きそうです。

回答No.3

alice_44

式変形の違いは、表面上の話。
模範解答と貴方の解法の重要な違いは、
対称性を崩すときに a≧b≧c と置いたか置かなかったかにある。
貴方の b=-4～4 は、この制限を置かずに a,c を消去したから、
a,b,c の中で範囲の最も広いモノの範囲を出したことになる。
模範解答は、最も範囲の狭い c の範囲を絞り込んでいる。
対称性の高い不定方程式の対称性を崩して扱う際に、
候補が早期に少なくなる未知数に着目する…というのは、
一般的な考え方だと思う。

お礼

ありがとうございます。別の参考書に実は同じ問題があり、それを読むと私と同じ方針でした。が、おっしゃる通り、対称性を用いて絞ってました。ここがつまるところミソのようですね。

回答No.1

Tacosan

とりあえず「速いかどうか」は横におく.
b が -4以上 4以下ということは, 条件の対称性から a, c も同じ条件が付く. んで, さらに a ≦ b ≦ 0 < c を仮定できるので -13 ≦ ab ≦ 13 から a, b にかなり制限が付きそう.

お礼

遅れてすみません。対称性を使えばしぼれるんですね。ありがとうございます。