少し複雑な4変数の連立方程式の解は?

質問

次のような連立方程式の解の存在について考えています。

変数：a, b, c, d
定数：A_1, A_2, A_3, A_4
とするとき、

abcd*A_1^2 + (ab+cd+bc)*A_1 - 4 = 0
abcd*A_2^2 + (ab+cd+bc)*A_2 - 4 = 0
abcd*A_3^2 + (ab+cd+bc)*A_3 - 4 = 0
abcd*A_4^2 + (ab+cd+bc)*A_4 - 4 = 0

a, b, c, dは一意的に求まるのか?

解が存在するという確信なしに強引に解くのは体力を使いすぎるような気がしてます。
何らかの数学的根拠から、上の方程式が「解ける」or「解けない」などという議論することはできないでしょうか?

回答No.3

Knotopolog

「少し複雑な4変数の連立方程式」を強引に解いてみよう．
まず，X＝abcd, Y＝ab＋cd＋bc とおくと与式は，
X*A_1^2 ＋ Y*A_1 ＝ 4　　・・・・・(1)
X*A_2^2 ＋ Y*A_2 ＝ 4　　・・・・・(2)
X*A_3^2 ＋ Y*A_3 ＝ 4　　・・・・・(3)
X*A_4^2 ＋ Y*A_4 ＝ 4　　・・・・・(4)
と書ける．(1), (2)を１つの連立方程式と考え，(3), (4)も別の１つの連立方程式と考える．(1), (2)から，行列式の表現を用いて，
Δ＝|A_1^2　A_1|　Δ_x＝|4　A_1|　Δ_y＝|A_1^2　4|
　　　|A_2^2　A_2|，　　　　|4　A_2|，　　　　|A_2^2　4|
とすると，これにより
X＝(Δ_x)/Δ，Y＝(Δ_y)/Δ　　・・・・・(5)
である．次に，(3), (4)から，同様に行列式の表現を用いて，
Ψ＝|A_3^2　A_3|　Ψ_x＝|4　A_3|　Ψ_y＝|A_3^2　4|
　　　|A_4^2　A_4|，　　　　|4　A_4|，　　　　|A_4^2　4|
とすると，これにより
X＝(Ψ_x)/Ψ，Y＝(Ψ_y)/Ψ　　・・・・・(6)
である．(5)の X と Y は(6)の X, Y と等しくなければならないから
(Δ_x)/Δ＝(Ψ_x)/Ψ，・・・・・・(7)
(Δ_y)/Δ＝(Ψ_y)/Ψ　・・・・・・(8)
を得る．この(7),(8)は A_i^2 (i=1,2,3,4)およびA_j (j=1,2,3,4)間の関係を与える式（制限を与える式）である．ただし，Δ≠0, Ψ≠0 とする．次に，変数 a, b, c, d に対して，α,β,γ,δを任意の実数と仮定し，
a＝αt　　・・・・・(9)
b＝βt　　・・・・・(10)
c＝γt　　・・・・・(11)
d＝δt　　・・・・・(12)
とおく．X＝abcd と Y＝ab＋cd＋bc により，
X＝αβγδt^4　　・・・・・・・・・・(13)
Y＝(αβ＋γδ＋βγ)t^2　・・・・・・(14)
と書ける．(14)の両辺を２乗すると，
Y^2＝(αβ＋γδ＋βγ)^2*t^4　・・・・・・(15)
(13)と(15)より
X/Y^2 ＝(αβγδ)/(αβ＋γδ＋βγ)^2　　・・・(16)
この(16)は，α,β,γ,δと A_i^2 と A_j の関係を与える式である．ただし，Y≠0, αβ＋γδ＋βγ≠0 とする．一方，(13)より t は
t＝{X/(αβγδ)}^(1/4)　　・・・・・・(17)
で与えられる．これで計算は終わりである．a, b, c, d は，(17)と(9), (10), (11), (12)により与えられる．因みに，一般に，行列式とは，
Ω＝|A　B|＝AD－BC のことである．
　　　|C　D|
これから先のことは，自分で考えて下さい．　　　　　　以上

回答No.2

mazoo

とりあえず、abcd=x、ab+cd+bc=y
として、二元連立方程式と考えて、４つの式を見てみましょう。
それぞれ(x,y)平面上で直線をあらわしますから、４つの式を満たす(x,y)が存在するためには、それらの直線が同じ共有点を持つことです。
例えば
みんな傾きがばらばらである一点で交わったり
二本ずつ完全に同じ直線を表していて、それらが一点で交わったり。

四本も直線があったら、それらが同じ共有点を持つ条件は結構多いと思います。
しかも今回はそれぞれの直線のxの係数とyの係数が独立でないために、
かなり特殊なA_1,,,A_4ではないと４つの直線が共有点を持つことはないように思います。
A_1=A_2=A_3=A_4なら、それらの直線は同じ直線を表すので直線上の点がすべて共有点です。
だからまず４つの直線が同じ共有点を持つかどうか調べて、
共有点が(p,q)なら
abcd = p
ab + cd + bc =q
を解くことになります。

回答No.1

noname#101087

とりあえず、一つのアルゴリズム。

　abcd*A_k^2 + (ab+cd+bc)*A_k - 4 = 0　　(k=1,2,3,4)

{a, b, c, d} がすべて非零でないと成立しない。 (abcd) で上式を割り、
　A_k^2 + {(1/cd)+(1/ab)+(1/ad)}*A_k - 4(1/cd)*(1/ab) = 0
ここで、
　{(1/cd)+(1/ab)+(1/ad)} = X
　(1/cd)*(1/ab) = Y
とおけば、
　A_k^2 + X*A_k - 4*Y = 0　　…(1)　(k=1,2,3,4)

式(1) のうち2つを選んで、X, Y について解く。
解があったら、ほかの2つへ代入してみる。みな成立すれば、それが解。

このやり方で X,Y が得られたとき、{a,b,c,d}を一意的に決定できるのでしょうか。
目算では、駄目そうに見えます..... 。