2元2次連立方程式

質問

次の連立方程式の解き方を教えてください。

ax^2+bxy+cy^2=0

dx^2+exy+fy^2=0

ここで、a,b,c,d,e,fは定数とする。２つの未知数に対して、２つの方程式があるので、理論上は解けると思うのですが、自明な解（x,y=0）しか求めることができませんでした。
どなたかこの２元２次の連立方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

ちょっと自信ありませんが,

ax^2+bx+c=0・・・（1）
の解をα,βとすると
与式第一式は

a(x-αy)(x-βy)=0・・・（3）

同じように
dx^2+ex+f=0・・・（2）
の解をγ,εとすると
与式第二式は

d(x-γy)(x-εy)=0・・・（4）

となります.
式（3）から x=αy ・・・（5） or x=βy ・・・（6）
式（4）から x=γy ・・・（7） or x=εy ・・・（8）
よって,（5）=（7）or（5）=（8）or（6）=（7）or（6）=（8）のどれかが成立しなければ,
（x,y）=（0,0）という自明な解だけになると思います.

問題として

ax^2+bxy+cy^2=g

dx^2+exy+fy^2=h

となっていれば,両式からx＾2を消去してxをyで表現し,どちらかの式に代入すれば,yの2次方程式が得られて・・・
という風に解が求まると思います.

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.2

tomtom_

この連立方程式は，幾何学的には二つの推面の交点を求めるということですよね．推といっても2次元なので，直線が二本あるだけですが．．．

これは，適当な直交変換で

Ax^2+By^2=0
Cx^2+Dy^2=0

と方程式を変形できることからも分かります．
だから自明な解のみで正解です．
（#1の方の回答，凄いですね．感心しました）

お礼

この方程式には幾何学的な意味もあるんですね。驚きました。回答ありがとうございました。