数IAの方程式と不等式の問題です。

質問

見づらくて申し訳ありませんが、
解る方は回答をお願いします。

xの二次方程式　kx^2-(k+2)x-2=0…(1)
について

方程式(1)が少なくとも1つの整数解をもつためには、nを正の整数として
D=(k+?)^2-??=n^2
の形にならなければならない。これを変形して
(k+6+n)(k+6-n)=32…(2)

kが整数の範囲で(2)を満たすk、nの値を求めると
p=k+6+n、q=k+6-n
はどちらも整数であり、p>q、p+qが偶数であることから
k=?、n=?
したがって、kが整数の範囲で方程式(1)は整数の解
x=?をもつ。

解説は詳しく書いていただけるとありがたいです。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

・まず「xの二次方程式」とあるので「k≠0」ですね。

・取りあえず、このままの形でxを出してみると理解しやすくなるかも知れませんね。
　x＝｛(k＋2)±√D｝／2k　（Dは判別式）　　（あ）

・整数解をもつ」ためには、最低でも根号がはずれなければなりませんね。
　→つまり、そのためには根号内Dが完全平方式でなければなりませんね。
　→そのために、前もって「nを正整数」として「D＝n^2」としています。
　　　D＝{－(k＋2)}^2－4×1×(－2)
　　　　＝k^2＋12k＋4
　　　　　＊第1と第2項の（→k^2＋12k）の部分から平方形として変形します。
　　　　＝(k＋6)^2－36　＋4
　　　　＝(k＋6)^2－32
　　　　　＊これを正整数n^2としているので…

　　　　(k＋6)^2－32＝n^2　　　　＊途中の空所の【答え】となりましたね^^。

　更に、この式を変形して左辺を因数分解します。
　　　　(k＋6)^2－n^2＝32
　　　　(k＋6＋n)(k＋6－n)＝32　（い）

・問題文から…「p=k+6+n、q=k+6-n」としていますね。

・他に条件を見ると…
　→「k＋n＝k＋n」は明白であり、左辺は6加えて、右辺は6引いていますので、「p＞q」は納得できますね。
　→「p＋qは偶数」というのは、実際に表すと…
　　　p＋q＝(k＋6＋n)＋(k＋6－n)
　　　　　　＝2 k＋12＝2(k＋6)　となるので、こちらも納得できますね。
　　　＊ここで、もう少し奥深く考えて見ると…「pとqの和が偶数」ということは…
　　　　偶奇性から「pもqも偶数になる」か「pもqも奇数になる」を意味しています。

　　　…ところが、
　　　　先の（い）の右辺を見ると乗じると「32(偶数)」となるので、結局「pもqも偶数になる」と断言できてしまいます^^。

　　　ですから…表にしてみると
　　　（下は一応、表にしたつもりです^^A）
　　　（このときにp＞qも考慮することに気を付けると組合せが少なくて楽ですよ。）

　　　p…　8　16　　→k＋6＋n　…　8　　　16
　　　q…　4　 2　　→k＋6－n　 …　4　　　 2

　　　上の関係を連立して、適する方を選択すると　k＝3、n＝7　となります。
　　　　　＊途中の空所の【答え】となりましたね＾＾。

　　これより、（随分と前の話題にさかのぼりますが…）
　　　D＝√49＝7　となって、更に（あ）からx＝2，－1/3

　　空所から、整数解はx＝2　（＊最後の空所の【答え】）といった感じでしょうか^^A。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

k が整数なら (1) の可能な整数解は ±1, ±2 の 4通り... なんだけど, それを使っていいのかなぁ?