方程式の問題なんですが・・・

質問

正の整数m,nに対して、方程式2mn-2m+n=301が成り立っている。
このとき((ア)m+(イ))(n-(ウ))=(エオカ)である。
よって、この方程式の解の組(m,n)は全部で(キ)組である。
更に、それらの組の中で、｜m-n｜の値が最少である組は
(m,n)=((クケ),(コサ))である。

という問題なんですが、最初の因数分解は、
(2m+1)(n-1)=302というのはわかったんですが
この次のところから考えてもよくわからないので
解き方を教えてください。お願いします。

回答No.4

nettiw · ベストアンサー

正の整数m,n
　2m(n-1)+(n-1)+1=301
　(2m+1)(n-1)=300

　300=(2^2)(3^1)(5^2)
2m+1は奇数かつ３以上なんで、
(3^0)(5^0)=1はダメであることに注意して、
２・３－１＝５　とできるけど、
あとで、必要になるから並べると、
2m+1は、(3^0)(5^1)=5、(3^0)(5^2)=25、
　　(3^1)(5^0)=3、(3^1)(5^1)=15、(3^1)(5^2)=75
5個の(2m+1)が定まれば、０以上の(n-1)も定まるんで、
解の組(m,n)は全部で５組である。

高々５組なんで、しらみつぶしに調べると、
2m+1=3,,,,,,,,m=1,,,,,,,,,n-1=100,,,,,n=101
2m+1=5,,,,,,,,m=2,,,,,,,,,n-1=60,,,,,,,,n=61
2m+1=15,,,,,,m=7,,,,,,,,n-1=20,,,,,,,,n=21
2m+1=25,,,,,,m=12,,,,,,,n-1=12,,,,,,,,n=13
2m+1=75,,,,,,m=37,,,,,,,n-1=4,,,,,,,,,,,n=5
｜m-n｜の値が（最小）である組は、(m,n)=(12,13)
のようですね。

補足

2m+1は奇数かつ３以上のところまではわかったんですが

2m+1は、(3^0)(5^1)=5、(3^0)(5^2)=25、
　　(3^1)(5^0)=3、(3^1)(5^1)=15、(3^1)(5^2)=75

↑の計算がなぜそうなるかわからないので
教えていただきたいですが・・・

回答No.6

nettiw

>>↑の計算がなぜそうなるかわからないので。

覚悟はしていましたが、補足要求が入ると困るなあと、
（１）　貴殿/貴女の疑問点が読み取れない。
（２）　以外と説明が困難。
（３）　既知の事を書いて無駄になるのはいいけれど、
　　　　無礼になる恐れがあります。
（４）　で、書き始めたら、やっぱり上手く書けませんでした。
（５）　指数表記は不可避です。
（６）　基本事項から書きます。
.................................................................
A,Bが正の整数のとき、AB=300は、（正の）約数の積です。
たとえば、
1・300=300、　2・150=300、　3・100＝300、・・・・・

300を素因数分解し、300=(2^2)(3^1)(5^2)。

300の約数は、

1=(2^0)(3^0)(5^0)
2=(2^1)(3^0)(5^0)
3=(2^0)(3^1)(5^0)
5=(2^0)(3^0)(5^1)
・・・・・
300=(2^2)(3^1)(5^2)

(2^p)(3^q)(5^r)、[p=0,1,2]、[q=0,1]、[r=0,1,2]と書けます。
[p=0,1,2]、[q=0,1]、[r=0,1,2]は、自由に組合わせることができて、
約数の個数は、(２+1)(１+1)(２+1)=１８個

ある整数Ｎを素因数分解したときに、
Ｎ＝２^p×３^q×５^q　となったとき、
約数の個数は（ｐ＋１）×（ｑ＋１）×（ｒ＋１）
http://buchiyamato.nomaki.jp/5jou2soinsuubunnkai.html
ここまでが、当該問題を解く前提です。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
この問題は、
m,nは、正の整数（自然数）
(2m+1)(n-1)=300=(2^2)(3^1)(5^2)

2m+1　は３以上の奇数の約数で、
約数　(2^p)(3^q)(5^r)、[p=0,1,2]、[q=0,1]、[r=0,1,2]　から、
奇数である約数を取り出す方法は、

(2^1)(3^q)(5^r)は偶数で、　
(2^2)(3^q)(5^r)も偶数で、
(2^0)(3^q)(5^r)=1・(3^q)(5^r)=(3^q)(5^r)だけが奇数です。

これを列挙して、
2m+1=(3^0)(5^0)=1　（適さない。）
2m+1=(3^0)(5^1)=5
2m+1=(3^0)(5^2)=25
2m+1=(3^1)(5^0)=3
2m+1=(3^1)(5^1)=15
2m+1=(3^1)(5^2)=75
３００の、３以上の奇数の約数の個数は、
(q+1)(r+1)-1=(1+1)(2+1)-1=6-1=5個。
..............

回答No.5

take_5

積の形にするのは、意外に苦しむようだ。

2mn-2m+n＝301より n（1＋2m）＝2m＋301　で、1＋2m≠0から　n＝（2m＋301　）/（1＋2m）＝1＋（300）/（1＋2m）である‥‥(1)。
これは、n-1＝（300）/（1＋2m）であるから、（n-1）*（1＋2m）＝300.
(1)よりn＝1＋（300）/（1＋2m）よりnが自然数から、1＋2mが300の約数でなければならない。
従って、1＋2m≧3で、300＝2*2*3*5*5であり、1＋2mが奇数から、2*2が含まれると偶数になるからそれらを除外して、1＋2m＝3、5、15、25、75　だけ。
これでmが求まるから、(1)からnも求められる。

　　　　　　　以下、省略。。。。自分でやってね。

回答No.3

kumipapa

＞　(2m+1)(n-1)=302というのはわかったんですが
は間違いです。
(2m + 1) (n - 1) = 300
です。もう一度見直してみてください。

300を素因数分解
2m + 1 が 3 以上の奇数であることに着目して、300 の約数で 3 以上の奇数を全部書き出してしまって、m,n の組を全て求めるのが早い。
面白くはないけど。

補足

計算しなおしたんですが、
(2m+1)(n-1)を展開したら
2mn-2m+n-1で-1を右辺に移行したら
(2m+1)(n-1)=302になってしまうんですが・・・

回答No.2

shut0325

ん、、、300じゃない？？

回答No.1

shut0325

302を素因数分解