大学入試過去問-二次方程式-

質問

方程式
ｘ^2－３ｘｙ＋２ｙ^2＋３＝０
を満たす正の整数の組を考える。
このうち、ｘ＋ｙ が最大となるのは(ｘ，ｙ)＝(ア，イ)、
最小となるのは(ｘ，ｙ)＝(ウ，エ)

という問題なのですが、
答えはあるものの解説がないので
解けずにいます。

もしお時間がある方いらっしゃったら
解き方を教えてください。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

x^2- 3xy+ 2y^2+ 3＝ 0より (x-y)(x-2y)＝ -3と変形できます。
※この「因数分解」ができれば、8割はできたも同然です。＾＾

そして、x＞ 0, y＞ 0より x- y＞ x- 2yとなることも示すことができます。
これら 2数の積が -3という負の数となるので、
(x-y, x-2y)＝ (1, -3), (3, -1)という 2とおりしかないことがわかります。

ここまでくれば、普通の連立方程式を解く問題ですね。＾＾

お礼

詳しい説明ありがとうございます♪

とてもわかりやすく、
期待していた解答が得られて
すごく嬉しいです！

ありがとうございました(>_<)

回答No.3

info22_

>ｘ^2－３ｘｙ＋２ｙ^2＋３＝０
(x-y)(2y-x)=3
x,yが整数の条件を満たすのは以下の４通りのみ。
これらの４通りの場合について正の整数の組み合わせを抽出すればよい。
(1)x-y=1,2y-x=3
(2)y-x=1,x-2y=3
(3)x-y=3,2y-x=1
(4)y-x=3,x-2y=1

(1)の場合 x=5,y=4 正整数条件を満たす。
(2)の場合 x=-5,y=-4 正整数条件を満たさない。
(3)の場合 x=7,y=4 正整数条件を満たす。
(4)の場合 x=-7,y=-4 正整数条件を満たさない。

適するx,yの正整数の組は (5,4)と(7,4)

ｘ＋ｙ が最大となるのは
x+y=7+4=11の場合で　(ア，イ)＝(7,4)、

ｘ＋ｙ が最小となるのは
x+y=5+4=9の場合で(ウ，エ)＝(5,4)

お礼

詳しい説明ありがとうございます♪

ずっと計算でやるんだって
頭が固くなってて、
そのような解き方頭にありませんでした(>_<)

ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

幾つか方法は考えられるが。

(解法-1)

常識的にやるなら。

ｘ^2－3ｘｙ＋2ｙ^2＋3＝０　‥‥(1)　の判別式＝ｙ^2-12＝k＾2　とする。kは0以上の整数。
(y+k)*(y-k)＝12　と変形して、y＋k≧y-k　で　(y＋k)＋(y-k)＝2y＝偶数　から　(y＋k、y-k)＝(6、2)のみ。
これを(1)に代入して、x＝7、5.
従って、9≦ｘ＋ｙ≦11　最大値は(x、y)＝(7、4)、最小値は(x、y)＝(5、4)

(解法-2)

少し遊ぶなら。。。。。ｗ

ｘ＋ｙ＝k、 ｘ-ｙ＝m　(kもmも整数)とすると、2x＝k＋m、2y＝k-m　であるから、これを条件式に代入すると
3m＾2-km＋6＝0　→　k＝3m＋(6)/m　であるから、m＝1、2、3、6であるから、(m、k)＝(1、9)、(2、9)、(3、11)、(6、19)。
この中で、ｘとｙが共に自然数になるのは、(x、y)＝(5、4)、(7、4)となり、先の答えと同じになる。

お礼

詳しく説明ありがとうございます♪

すみませんが、上の解法の
"(1)に代入して～"
の部分がどうしてもわかりません(>_<)
y+kは(1)にどのような形で
代入すればいいのですか？

補足

すみません(>_<)
初めてなので、
間違えてお礼のほうに質問を
してしまいました;

改めて、
"(1)に代入して～"
の部分をお時間があれば
教えてください。