数学の質問です

質問

｛sinx＋cosｙ＝a　と　(sinx)^3＋(cosy)^3＝ｂ｝・・・・(1)を同時に満たす実数ｘ、ｙが存在するかどうかを考える。ただしa＞０とする
まず、(1)を同時に満たすx、ｙが存在するときsinxcosy＝・・・・を求めさせる問題があって、次に(1)を同時に満たすｘ、ｙが存在するための必要十分条件はa、ｂの不等式はどのようになるかの問題なんですが、まず自分はsinxcosyをaとbで表して、
sinx＋cosｙ＝aとsinxcosy＝a^2/3ーb/3aに関してこれはsinxとcosyを解に持つ２次方程式だと思い、t^2ーat＋a^2/3ーb/3a＝０と式を立て、この式でｔが実数を持てば実数x、yも持つと考えてそしてそのとき(1)も満たすと考え、判別式でやったんですが、上手く出なかったのですが、どのようになるのでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

t の方程式が二つの実数解を持つ
だけでは不十分で、
解が二つとも -1 ≦ t ≦ 1 の範囲にある
必要があります。

二次方程式 f(t) = 0 の解が二つとも
-1 ≦ t ≦ 1 にある条件は、
f の頂点 (x,y) が -1 ≦ x ≦ 1, y ≦ 0 にあり、
かつ、f(-1) ≧ 0, f(1) ≧ 0 であること。

グラフを描いて眺めながら、
ゆっくり考えてみましょう。

回答No.3

tuyosi2010

私は数学の問題を解く際には、
まず、国語を数学に変換する作業を行う事が基本と考えております。
その考えに則って問題を解こうとすると、以下の手順となります。
（※突然現れるアルファベットは適当に解釈してください）

＞A君とB君が1,500m離れた地点から向かい合って同時に歩き始めると、
＞10分後にX地点で出会いました。

→10x + 10y = 1500
＞この２人の歩く速さをそれぞれ毎分25m遅くしたら、
＞　　　　　　　　　　　　　　　　　～出会います。

→m(x-25) + m(y-25) = 1500
＞この２人の歩く速さをそれぞれ毎分25m遅くしたら、
＞X地点から50m離れた場所で出会います。
（※この日本語部分が既にもややこしくなっていて、
　　自身の解釈をして数学への変換をする必要もあります）

→10x = m(x-25) ±50
　（※上記の50にかかっているプラマイはどちらかである事を意味する）

以上が数学への変換作業の終了で、
後は上記の３次連立方程式を解くだけなのですが、
この３つの式を静かに眺めて見ると、
１つ目と２つ目のx,yには等しい割合の数が掛かっているのが分かります。
この性質を利用すると、
最初の式より
　x + y = 150なので、
２つ目の式のmの値がいきなり出ます。

通常の３次連立方程式は２つずつを組み合わせて
2次連立方程式に持ってゆくと思うのですが、
この場合は式の特殊性から１つの値が出やすい性質があるようです。
この性質を見つけることができるかどうかが、時短の鍵となるのでしょう。
後は上記の方程式を出せば、自然と出ると考えております。

回答No.1

spring135

判別式>=0と絶対値a<=2,絶対値b<=2
をaの正負に応じてa-b平面に整理すると
a>0, b<=2, b>=a^3/4 で囲まれる領域と
-2<=a<0, b>=-2,b<=a^3/4 で囲まれる領域
に(a,b)があるとき実数x,yが存在する。
a=0の吟味はやってください。