高校数学 2次関数

質問

2次方程式 x^2+ax+a^2+ab+2=0が、どのようなaの値に対しても
実数の解を持たないような定数bの値の範囲を求めよ。

という、問題なんですが、解説を見ても分からないところがあるんです。

まず、実数の解を持たないので 判別式D < 0を解いてみて
a^2-4(a^2+ab+2) < 0になり、変形させて
-3a^2-4ab-8 > 0になりました。
ここまでは良いんですが、解説を見ると
「-3a^2-4ab-8 > 0 が全てのaについて成り立つことである。
よって (4b)^2-4・3・8 < 0 ....」と書かれているんです。
判別式を変形して-3a^2....の所までは理解できたのですが
何故、次の式が(4b)^2-4・3・8 < 0になるのかが全く分かりません。
どういう操作をしたら上の式になるのでしょうか？

回答No.1

karura_gq · ベストアンサー

-3a^2-4ab-8<0の間違いですよね？
だから、3a^2+4ab+8>0。

これがaに関わらず常に成り立つ⇒aに関する2次方程式が解を持たない。

よって方程式の判別式D'<0。
すなわち、(4b)^2-4・3・8<0。

お礼

すみません、混乱していて入力ミスをしてしまいました・・・
判別式を使うから(4b)^2...となるのですね。
よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

karura_gq

#1です。
一応混乱しそうなので、捕捉します。

「-3a^2-4ab-8 > 0」ですが
Y(a)=-3a^2-4ab-8は#2さんが仰ってるように上に凸です。
なので係数がどうであろうと、必ずY(a)<0の部分が出てきます。
ので矛盾しますよね。。。

なのでおかしいなーと思ってたのですが

a^2-4(a^2+ab+2) < 0　⇒　-3a^2-4ab-8 > 0
この変形間違ってますよね？不等号の向きが。

もし解答が「-3a^2-4ab-8 > 0 が全てのaについて成り立つことである。」
とかかれてたら、誤植だと思います。

ですので、変形した結果は3a^2+4ab+8>0となり
Y(a)=3a^2+4ab+8は下に凸ですので、
もしこの関数が解を持たなければ常にY(a)>0となるわけですね。

のであとは最初の操作と同様、判別式の出番となるわけです。

お礼

>a^2-4(a^2+ab+2) < 0　⇒　-3a^2-4ab-8 > 0
>この変形間違ってますよね？不等号の向きが。
すみません・・・混乱していて入力ミスをしてしまいました。
やはり、放物線などを書いてわかりやすくするべきですね。。。
ありがとうございます。

回答No.2

reachippatu

y(a) = -3a^2-4ab-8 とおきこれをaに関する二次関数を
考えるよ。
すると、この関数を図示すると上に凸な放物線になるよね？
x軸がa,y軸がy(a)なので全ての実数aにおいてy(a)>0と
なることは不可能でしょ？
だからaは虚数解でなければならない。
従って、判別式を利用して(4b)^2-4・3・8 < 0が出てくる
んだ。

ふー、高校数学を卒業して１５年以上経つけど基礎解析は
なんとかまだ現役生に教えられるかな。。。（笑）

お礼

すみません、混乱していて入力ミスをしてしまいました・・・
まずは放物線を書いて視覚的に分かりやすくすればよかったのですね。。。
問題を解いてるときには判別式が出るとは思いもしませんでした。。。

ありがとうございます。