方程式の応用問題

質問

0≦x＜2πのとき、方程式
2√2{(sinx)^3 +(cosx)^3}+3sinxcosx=0
を満たすxの個数を求めてください。

【自分の解答】
sinx+cosx=tとおく。
2sinxcosx=t^2 -1なので、
3sinxcosx=(3t^2 -3)/2

また、(sinx)^3+(cosx)^3=(-t^3 +3t)/2
と表せる。

よって与えられた方程式は、
(2√2)t^3 -3t^2-(6√2)t+3=0

ここで手詰まりです(>_<)
詳しい解説と回答お願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

sinx+cosx=t=(√2)sin{x+(π/4)}
だから
-√2≦t≦√2

f(t)=(2√2)t^3-3t^2-(6√2)t+3
とすると
f'(t)=6{(√2)t+1}(t-√2)

f(-√2)=-8-6+12+3=1>0
f(-1)=-(2√2)-3+(6√2)+3=4√2>0
-√2<t<-1/√2のときf'(t)>0だからf(t)は増加
f(-1/√2)=13/2>0
-1/√2<t<√2のときf'(t)<0だからf(t)は減少
f(√2)=-7<0
だから
-1/√2<t<√2のときf(t)=0となるtが1個だけ存在する
そのtに対して
-1/√2<(√2)sin{x+(π/4)}=t<√2
-1/2<sin{x+(π/4)}=t/√2<1
を満たす解xが
2個存在する

お礼

詳しい解説ありがとうございました☆

回答No.1

mister_moonlight

方針はそれでよい。

ｆ（ｔ）＝(2√2)t^3 -3t^2-(6√2)t+3=0において、微分して3次曲線を描く。
当然、最大値と最小値を　-√2≦ｔ≦√2　の範囲で求める。
とすると、ｆ（√2）＜0、ｆ（1）＜0、ｆ（0）＞0、ｆ（-1）＜0、ｆ（-1/√2）＞0、ｆ（-√2）＜0。
従って、この3次方程式は　-√2≦ｔ≦√2　の範囲で、0＜ｔ＜1、-1＜ｔ＜0　に1個ずつ持つことがわかる。
そこで、問題は　ｔ　と　x　の対応が問題になる。ｔ　と　x　の対応が　1対1　かどうか、という事だ。
たとえば、ｔ＝sinx+cosx＝√2　を解くと　x　は1個。ｔ＝sinx+cosx＝0を解くと2個。
ｔ＝sinx+cosx＝1を解くと1個。つまり、0＜ｔ＜1　の時　xの個数は2個。
同様に、-1＜ｔ＜0　の時は2個。
以上から　ｔは　0＜ｔ＜1、-1＜ｔ＜0に1個ずつ持つから、合計で4個持つ。

お礼

詳しい解説ありがとうございました☆