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方程式の応用問題
0≦x<2πのとき、方程式 2√2{(sinx)^3 +(cosx)^3}+3sinxcosx=0 を満たすxの個数を求めてください。 【自分の解答】 sinx+cosx=tとおく。 2sinxcosx=t^2 -1なので、 3sinxcosx=(3t^2 -3)/2 また、(sinx)^3+(cosx)^3=(-t^3 +3t)/2 と表せる。 よって与えられた方程式は、 (2√2)t^3 -3t^2-(6√2)t+3=0 ここで手詰まりです(>_<) 詳しい解説と回答お願いします。
- examineekaraage
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sinx+cosx=t=(√2)sin{x+(π/4)} だから -√2≦t≦√2 f(t)=(2√2)t^3-3t^2-(6√2)t+3 とすると f'(t)=6{(√2)t+1}(t-√2) f(-√2)=-8-6+12+3=1>0 f(-1)=-(2√2)-3+(6√2)+3=4√2>0 -√2<t<-1/√2のときf'(t)>0だからf(t)は増加 f(-1/√2)=13/2>0 -1/√2<t<√2のときf'(t)<0だからf(t)は減少 f(√2)=-7<0 だから -1/√2<t<√2のときf(t)=0となるtが1個だけ存在する そのtに対して -1/√2<(√2)sin{x+(π/4)}=t<√2 -1/2<sin{x+(π/4)}=t/√2<1 を満たす解xが 2個存在する
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- mister_moonlight
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方針はそれでよい。 f(t)=(2√2)t^3 -3t^2-(6√2)t+3=0において、微分して3次曲線を描く。 当然、最大値と最小値を -√2≦t≦√2 の範囲で求める。 とすると、f(√2)<0、f(1)<0、f(0)>0、f(-1)<0、f(-1/√2)>0、f(-√2)<0。 従って、この3次方程式は -√2≦t≦√2 の範囲で、0<t<1、-1<t<0 に1個ずつ持つことがわかる。 そこで、問題は t と x の対応が問題になる。t と x の対応が 1対1 かどうか、という事だ。 たとえば、t=sinx+cosx=√2 を解くと x は1個。t=sinx+cosx=0を解くと2個。 t=sinx+cosx=1を解くと1個。つまり、0<t<1 の時 xの個数は2個。 同様に、-1<t<0 の時は2個。 以上から tは 0<t<1、-1<t<0に1個ずつ持つから、合計で4個持つ。
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詳しい解説ありがとうございました☆