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３次方程式です
x^3+3x^2+8x-12=0 この３次方程式をカルダノの解法で解いったらt^2-18t-125/27=0の２次方程式になったのですがその続きの解答と解説をお願いします。
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因数定理を使えばx=1が見つかるので、左辺が簡単に因数分解できます。 それが#1さんの解法です。 しかし、カルダノの解法で解け。という問題なら 以下のように解きます。 x^3+3x^2+8x-12=0 …(1) a=1, b=3, c=8, d=-12 …(2) x=t-b/(3a)=t-1…(3) とおき(1)に代入。 (t-1)^3+3(t-1)^2+8(t-1)-12=0 整理して t^3+5*t-18=0 …(4) p=5, q=-18 …(5) (4)の解をt=u+v …(6) とおく。 u,vは以下の連立方程式を満たすように定める。 u^3+v^3-18=0 …(7) 3uv+5=0 …(8) (8)から v=-5/(3u) …(9) (7)に代入、 u^3+(-5/(3u))^3-18=0 整理して 27u^6-486u^3-125=0 …(10) >t^2-18t-125/27=0 t=u^3とおけば(10)に対応する。 u^3=(81±34√6)/9 u^3=(81+34√6)/9 …(11) の方を採用する。 u=((81+34√6)/9)^(1/3)=(3+2√6)/3 …(12) (9)より v=(3-2√6)/3 …(13) wを1の3乗根、つまり w=(-1+i√3)/2 …(14) とおくと w*=w^2=-(1+i√3)/2 …(15) (4)の３つの解は (12), (13), (14), (15) から t1=u+v=2 t2=uw +vw*=-1+i 2√2 t3=uw* +vw=-1-i 2√2 ゆえに、(1)の３つの解はt1,t2,t3を(3)に代入して ∴x=1, -2(1±i √2)
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