数学の図示に関する質問です

質問

数学の図示の質問です
次の条件（１）（２）をともに満たす２次関数 f(x)=x^2+bx+c を考える
(1) c>=0
(2) ∫[0~1] f(x)dx=1
この関数のグラフ y=f(x)が通り得る領域を図示せよ

　式を書いていただければグラフは描かなくてもいいです　

　お願いします！！

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(2) ∫[0~1] f(x)dx=1は

∫[0~1] [x^2+bx+c]dx=[x^3/3+bx^2/2+cx]=1/3+b/2+c=1
c=2/3-b/2 (1)
を与える。

(1)より
c=2/3-b/2>=0

b<=4/3 (2)
を与える。

この時

f(x)=x^2+bx-b/2+2/3
=(x+b/2)^2-b^2/4-b/2+2/3

f(x)の頂点（X,Y)は

X=-b/2, Y=-b^2/4-b/2+2/3

よって

Y=-X^2+X+2/3 (3)
(2)より
b=-2X<=-4/3
X>=-2/3 (4)

頂点は

Y=-X^2+X+2/3　（X>=-2/3)

上にある。

また

f(x)=x^2+bx-b/2+2/3
=b(x-1/2)+x^2+2/3

であるから放物線はy=f(x)はbの値によらず

点(1/2,11/12)を通る。この点は頂点の一つになっている。

このような条件下でy=f(x)を描いてみる。

頂点が (1/2,11/12)より右では直線x=1/2に漸近する。

頂点が (1/2,11/12)より左では（-2/3,-4/9)まで、

つまり

y=(x+2/3)^2-4/9まで。