幾何学の、曲率の問題を教えて下さい

質問

問題：
0<b<aとして、母線ガンマγ(u)=(a+bcosu,bsinu)の回転面であるトーラスT
p(u,v)=((a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,bsinu) (0≦u,≦2π、0≦v≦2π)
を考える。
(1)第一基本量E=pu・pu F=pu・pv G=pv・pvを求めなさい
puはpをuで微分したもの、vも。
(2)面積要素はdA=√(EGーF^2) dudvで与えられる。面積を求めなさい
(3)回転面なので、主方向は母線方向と回転方向である事が知られている。つまり、主曲率の絶対値はその点における母線の曲率と法線が回転軸と交わる点までの距離を曲率半径とする平面曲線の曲率で与えられる。これらを求め、曲面の形から各点のガウス曲率を求めなさい
(4)ガウス曲率と面積要素の積の全積分∫T KdAを求めなさい。

(1)と(2)は分かったのですが、
E=b^2,F=0,G=(a+bcosu)^2
面積は4abπ^2
(3)(4)がわからず困っています。分かる方、どうかお願いいたします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

0<b<a
p(u,v)=((a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,bsinu) (0≦u≦2π,0≦v≦2π)

pのuによる偏微分は
p_u=b(-sinucosv,-sinusinv,cosu)
pのvによる偏微分は
p_v=(-(a+bcosu)sinv,(a+bcosu)cosv,0)

E=b^2
F=0
G=(a+bcosu)^2
g=EG-F^2=b^2(a+bcosu)^2
√g=b(a+bcosu)

(3)
pのuによる2階偏微分は
p_uu=b(-cosucosv,-cosusinv,-sinu)
p_uのvによる偏微分は
p_uv=b(sinusinv,-sinucosv,0)
pのvによる2階偏微分は
p_vv=(-(a+bcosu)cosv,-(a+bcosu)sinv,0)
第2基本量をL,M,Nとすると
L
=|p_uu,p_u,p_v|/√g
=
|-bcosucosv,-bsinucosv,-(a+bcosu)sinv|
|-bcosusinv,-bsinusinv,(a+bcosu)cosv |
|-bsinu ,bcosu ,0 |
/{b(a+bcosu)}
=
b

M
=|p_uv,p_u,p_v|/√g
=
|bsinusinv,-bsinucosv,-(a+bcosu)sinv|
|-bsinucosv,-bsinusinv,(a+bcosu)cosv |
|0 ,bcosu ,0 |
/{b(a+bcosu)}
=
0

N
=|p_vv,p_u,p_v|/√g
=
|-(a+bcosu)cosv,-bsinucosv,-(a+bcosu)sinv|
|-(a+bcosu)sinv,-bsinusinv,(a+bcosu)cosv |
|0 ,bcosu ,0 |
/{b(a+bcosu)}
=
(a+bcosu)cosu

主曲率を1/Rとすると
|(1/R)E-L,(1/R)F-M|=0
|(1/R)F-M,(1/R)G-N|
↓
{(1/R)E-L}{(1/R)G-N}-M^2=0
↓
{(1/R)^2}EG-(1/R)(EN+LG)+LN-M^2=0
↓
b^2(a+bcosu)^2{(1/R)^2}-b(a+bcosu)(a+2bcosu)(1/R)+b(a+bcosu)cosu=0
↓
b(a+bcosu){(1/R)^2}-(a+2bcosu)(1/R)+cosu=0
↓
{b(1/R)-1}{(a+bcosu)(1/R)-cosu}=0
↓
1/R=1/b
又は
1/R=cosu/(a+bcosu)

母線の曲率は
1/b

法線が回転軸と交わる点までの距離
|(a+bcosu)/cosu|
を曲率半径とする平面曲線の曲率は
|cosu/(a+bcosu)|

お礼

ありがとうございます。
ほんとうに助かりました