楕円面のパラメーター表示の問題

質問

楕円面のパラメーター表示において0＜a＜b＜cと仮定します。以下の問ではxz平面との交わり(v=0,π)の各点において考えます。
楕円面のパラメーター表示は
X(u,v)=
acosu・cosv
bcosu・sinv
csinu
で与えられます。

問
(i)第2基本変形を計算してください。
(ii)xz平面との交わりは常に主方向を含んでいる事を確かめてください。

第1基本変形g=(a^2・sin^2・u+c^2・cos^2・u)(du)^2+b^2・cos^2・u(dv)^2
を踏まえ、途中計算を含めて詳しい解説をお願いします。

テキストの解答には以下のように書かれています。
(i)φ=ac/√(a^2sin^2・u+c^2cos^2・u)・(du)^2+ac・cos^2・u/√(a^2sin^2・u+c^2・cos^2・u)(dv)^2
(ii)g12=0,H12=0ですから、u方向、v方向が主方向。
テキストに解答しか書かれていないので途中計算やなぜそれが成り立つのかという根拠がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

回答No.1

f272

行ベクトルで書くことにする。
X(u,v)=(a.cosu.cosv,b.cosu.sinv,c.sinu)
X_u=(-a.sinu.cosv,-b.sinu.sinv,c.cosu)
X_v=(-a.cosu.sinv,b.cosu.cosv,0)
X_uu=(-a.cosu.cosv,-b.cosu.sinv,-c.sinu)
X_uv=(a.sinu.sinv,-b.sinu.cosv,0)
X_vv=(-a.cosu.cosv,-b.cosu.sinv,0)
だから
E=X_u.X_u=(-a.sinu.cosv)^2+(-b.sinu.sinv)^2+(c.cosu)^2=(a.sinu)^2+(c.cosu)^2
F=X_u.X_v=(-a.sinu.cosv)(-a.cosu.sinv)+(-b.sinu.sinv)(b.cosu.cosv)=(a^2.sinu.cosu.sinv.cosv)-(b^2.sinu.cosu.sinv.cosv)
G=X_v.X_v=(-a.cosu.sinv)^2+(b.cosu.cosv)^2=(a.cosu.sinv)^2+(b.cosu.cosv)^2
となるが
sinv=0,cosv=1であれば
E=(a.sinu)^2+(c.cosu)^2
F=0
G=(b.cosu)^2
となって
g=E(du)^2+G(dv)^2

次に
sinv=0,cosv=1のとき
X_u*X_v(外積)=(-bc.(cosu)^2.cosv,ac.(cosu)^2.sinv2,-ab.sinu.cosu.(cosv)^2+ac.(cosu)^2.sinv)=(-bc.(cosu)^2,0,-ab.sinu.cosu)
|X_u*X_v|=b.cosu.sqrt((c.cosu)^2+(a.sinu)^2)
だから
n=X_u*X_v/|X_u*X_v|=(-c.cosu,0,-a.sinu)/sqrt((c.cosu)^2+(a.sinu)^2)
となって
L=X_uu.n=ac/sqrt((c.cosu)^2+(a.sinu)^2)
M=X_uv.n=0
N=X_vv.n=ac.(cosu)^2/sqrt((c.cosu)^2+(a.sinu)^2)
つまり
φ=L(du)^2+N(dv)^2