ガウスの定理を用いて解く問題です。

質問

この問題の解の導き方をどなたかわかりやすく教えてください。
この問題は結局何を求めているのでしょうか？球面の表面上における値というのは表面積のことを訊いているのでしょうか。途中計算までしかできませんでした。

ベクトル場A=(y-z+2x)(i)+(xy+4)(j)-xz(k) において、
球面S : x^2+y^2+z^2=4 の表面上における以下の値を求めよ。
∫(s) A・dS

*(i),(j),(k)は単位ベクトルです。

ガウスの定理より
∫(s) A・dS=∫(s) A・nds=∫(v) divA・dv
*AとSはベクトルを表しています

divA=∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z
=∂(y-z+2x)/∂x+∂(xy+4)/∂y+∂(-xz)/∂z
=(y-z+2)+(x+4)+(-x)

の形になると思うのですが、このあとの計算方法がわかりません。

回答No.1

noname#66248

divA=∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z
=∂(y-z+2x)/∂x+∂(xy+4)/∂y+∂(-xz)/∂z
=(y-z+2)+(x+4)+(-x)
この計算が間違っています。
見直してみては？

単なる体積の計算に帰結するようです。

お礼

divA=∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z
=∂(y-z+2x)/∂x+∂(xy+4)/∂y+∂(-xz)/∂z
=(2)+(x)+(-x)=2

∫(v) divA=∫(v) 2・dv=2∫(v) dv=2・4/3πr^3
*r=2なので
=64/3π

以上の通りで解を導くことができました。ありがとうございました。