ベクトル解析ガウスの発散定理の問題がわからないです

質問

円錐面z^2＝x^2＋y^2と平面z＝1で囲まれる閉曲面をSとする。ベクトル場F＝（xz，xyz^2，yz）のS上の面積分をガウスの発散定理を用いて求めよ。
という問題です、詳しく教えていただければ、と思います。（汗

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

＃１への「補足」に対して

ごめんなさい。π/4 が正解です。

I = ∫F・dS = ∫∇・F dV
∇・F = ∂(x z)/∂x + ∂(x y z^2)/∂y + ∂(y z)/∂z
　　　= z + x z^2 + y
I = ∫∫∫(z + x z^2 + y) dx dy dz
x z^2 と y はそれぞれ x と y について奇関数なので、いまの場合、それらの積分は 0。

z を円柱座標で積分すると、
I =∫∫∫ z dx dy dz
　= ∫∫∫ z r dr dθ dz
　= ∫(∫(∫dθ) r dr) z dz
　= ∫(∫(θ[0→2π]) r dr) z dz
　= ∫(∫2πr dr) z dz
　= π∫([r^2][0→z]) z dz
　= π∫z^2 z dz
　= π∫z^3 dz
　= π[z^4 / 4][0→1]
　= π/4。

あるいは
I =∫∫∫ z dx dy dz
= ∫z (∫∫dx dy) dz
= ∫z (πz^2) dz
= π∫z^3 dz
= π[z^4 / 4][0→1]
= π/4。

お礼

ありがとうございます。補足に対しても回答くれてすごく助かりました。もっと勉強しなきゃいけないなと思いました。

回答No.1

noname#185706

ヒントだけ。

∫F・dS = ∫∇・F dV
なので、∇・F を求めて、それを積分します。
積分では、奇関数の積分が 0 になることを使うと、計算が楽になるでしょう。また、円柱座標が便利でしょう。

答えは π/6 になるように思います。

補足

友達に聞いたらπ/4って言われたのですが・・・。