数学（ベクトル）

質問

この問題の解き方を教えて下さい。
原点を中心とする半径aの球面をS,　a(ベクトル)　= (3X , 2y, z)とするとき
ベクトル場aの曲面S上の面積分の値を体積分になおして計算せよ。
答え・・・8πa^3

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

↓これでしょ？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86
数学的内容はともかく、公式だけなら高校物理でも習う。

半径 a とベクトル場 a の両方に「a」を使っているのは良くないので、
→f = (3x,2y,z) と書くことにする。

発散定理より、∫∫(→f)・(→dS) = ∫∫∫div(→f)dv
ただし、・(→dS) は S 上の面積積分、dv は S 内部の体積分を表す。

実行すると、div(→f) = 3+2+1 と定数になることから
∫∫(→f)・(→dS) = ∫∫∫6dv = 6∫∫∫dv = 6(S内部の体積) = 6・(4/3)πa^3
となる。

お礼

ありがとうございます。
勘違いしていた箇所が分かりました。

回答No.2

ereserve67

Gaussの定理

∫∫_Sa・dS=∫∫∫_Vdiv adV

を使います．ここでベクトル場a=(3x,2y,z)の発散div aは

div a=∂(3x)/∂x+∂(2y)/∂y+∂z/∂z=3+2+1=6

なので，

∫∫∫_Vdiv adV=6∫∫∫_VdV=6×（V=Sの内部の体積）=6×(4/3)πa^3=8πa^3

となります．