面積分の問題

質問

空間ベクトル場f=(x,y,z)において、原点oを中心とする半径aの球面（閉曲面）をSとし、Sで囲まれる領域をVとおく。このとき、ガウスの発散定理
∬∫divfdV（積分区間はV)=∬f・ndS（積分区間はS）が成り立つことを確認せよ、という問題についてです。

∬f・ndSを馬鹿正直に解いてみたのですが…

曲面Sの方程式はx^2+y^2+z^2=a^2であることから、
F=x^2+y^2+z^2-a^2=0とすると、
▽F=(2x,2y,2z）
よって曲面Sの単位法線ベクトルをnとすると、
n=1/a(x,y,z)となるので、
∬f・ndS=∬1/a(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy

ここで極座標変換x=rcosθ,y=rsinθ(0≦r≦a,0≦θ≦2π)を行うと、
ヤコビアンJ=rであることから、

∬f・ndS=a^2∬r/√(a^2-r^2)drdθ
=2πa^3となって、答えの4πa^3に合いません。
自分でもどこを計算ミスしているのか分からなくて、本当に困っています。もちろん、こんな面倒な計算をしなくとも∬f・ndSが求められることは知っているのですが、このやり方でどうしても正しい答えを導きだしたいのです。私の計算にどこか間違いがあると思いますので、どこか教えて下さい。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>∬f・ndS=∬1/a(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
z≧0の積分だけになっているので上下対称ということで
2倍しないといけないですね。
正：∬f・ndS=2∬(1/a)(x^2+y^2+z^2)・a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=2∬(a^2)/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
以降の積分も2倍になりますので
答えの4πa^3になります。

お礼

なるほど、それをうっかりしていました。確かに私の立てた式では半球面の積分になっていますね。ご指摘ありがとうございます。