ガウスの発散定理

質問

曲面Sは半径aの球面であり、r[→]は原点Oから測った任意の点(x,y,z)の位置ベクトルであるとする。この時、面積分
∫∫[S] (r[→]/r^3)•n[→]dS
を以下の場合についてそれぞれ求めよ。
(1)Sの中心が点(a,a,a)にあるとき
(2)Sの中心が原点にあるとき

を解いてください。途中式もお願いします。

回答No.1

rnakamra

ガウスの発散定理を使うことを考えてみましょう。
まず
∇・(r[→]/r^3)
を計算しないといけません。

この計算は二通りの方法があります。

1.x,y,zの成分に分けて計算する。
(r[→]/r^3)のx,y,z成分をx,y,zを用いて表現しましょう。r[→]=(x,y,z)でr^3=...
から求めることができます。
そのx成分をxで偏微分しましょう。計算は面倒ですがこれは一度は計算しておかないといけないことです。がんばりましょう。
y,z成分については全く同様(単にxがy,zになっただけ)です。それを足し算すると...

2.∇を極座標の成分で表示する。
こっちのほうが簡単かもしれないが注意も必要。
∇の極座標表示は少しばかり面倒な形になっていますが、最後の計算の段階では内積をとるとゼロになる項や微分するとゼロになる項も多く結構楽。
x,y,z成分で計算する場合と比べると、微分の前段階での項数が増えるので注意が必要。

ただし、以上の計算はある問題があります。それはr=0の場合を完全に無視しているということです。r=0を含む領域では注意が必要です。

以上の内容について、一度は自分で計算することを強くお勧めします。もし、単位が必要なだけで聞いているのであればこれ以上私はお答えしません。