ベクトル解析入門（発散）

質問

ベクトル解析入門（発散）
（ベクトル解析入門（東大出版）の本文ｐ１２５）
ベクトル場Ｖ＝（u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点（ｘ、ｙ）を中心とする、１辺ｈの正方形Ｑｈを考える。

正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをｎとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をＡ（ｘ,y;h)とすると、
Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫（－h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫（－h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫（－h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Ｑｈは正方形Ｑｈの境界を表し、Ａ１，A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
Ａ１について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルｎはｎ＝（１，０）である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)（ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はＶ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)
(疑問）
(1)まず、Ｖ＝（u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか？
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか？
(3)Ｖ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか？（そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい）
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
（どのように考えているのでしょうか？）

（ベクトル解析入門（東大出版）の本文ｐ１２５）
ベクトル場Ｖ＝（u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点（ｘ、ｙ）を中心とする、１辺ｈの正方形Ｑｈを考える。

正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをｎとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をＡ（ｘ,y;h)とすると、
Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫（－h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫（－h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫（－h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Ｑｈは正方形Ｑｈの境界を表し、Ａ１，A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
Ａ１について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルｎはｎ＝（１，０）である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)（ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はＶ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)
(疑問）
(1)まず、Ｖ＝（u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか？
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか？
(3)Ｖ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか？（そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい）
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
（どのように考えているのでしょうか？）

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＞(Ｖ内積ｎ）が単位長さ当たりの流入量ですから、微小なｙ方向の長さｄｓ分の水の流入量を∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓはそれぞれの部分Ａ１，A2,A3Ａ４に関して足し合わせたものと考えて立式しているのでしょうか?

∂Ｑｈというのが紛らわしいですがこれは積分領域、つまり右(A1)、上(A2)、左(A3)、下(A4)、の各境界の集合を感覚的に示したもので、正確には

Ａ（ｘ,y;h)＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４
A1＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫（－h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫（－h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫（－h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds

AをA1~A4に分けて計算しているわけです。

＞(1)(3)に共通した質問なのですが、u(x+h/2,y+s)というのはuという関数に（x+h/2,y+s）を代入しているのであって、uかける（x+h/2,y+s）ではないのですね。
（u、ｖというのはｘ、ｙによって定まる関数ではなく、定数だと誤解していました。）

そうです。

＞また、Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓはそれぞれＡ１なら、ｙ方向の微小増分ｄｓに(Ｖ内積ｎ)をかけて－h/2→h/2に渡ってそれを足し合わせているといえます。(Ｖ内積ｎ）ｄｓというのはどのような量を表しているのでしょうか?

状況はあなたの画像に書いてある通りで、Ｖ内積ｎとはベクトルVとA1の積分領域の単位法線ベクトルの内積を指しています。もっと格好つけていうと

x方向の単位ベクトルをi↑,y方向の単位ベクトルをj↑で表すとA1ではi↑=n↑,

V↑=ui↑+vj↑

（Ｖ内積ｎ)=V↑・n↑=(ui↑+vj↑)・i↑=u

A1ではx座標はx+h,y座標はy+s,s=-h/2~h/2

流量は大雑把にはuh,y方向の分布を考慮して

Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds

としているだけの話です。

お礼

ありがとうございました。
がんばって進めていきます。

回答No.1

spring135

(1)まず、Ｖ＝（u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか？

場の分布量です。つまり

u=u(x,y),v=v(x,y)　：Vは成分をu,v（スカラー）とするベクトル量

以下、ベクトルには↑をつけて、つまりV↑のように表し、単位法線ベクトルはn↑で表します。

内積は・で表します。

(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか？

出入りは境界を通過することにすぎません。

(3)Ｖ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか？（そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい）

V↑・n↑はスカラーです。V↑のうち、n↑に平行な成分を取り出しているのでuまたはvです。

Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
（どのように考えているのでしょうか？）

2次元場において(－h/2→h/2)は流路の断面積です。ここから流出または流入する流体の流量を計算しています。A1～A4は上下左右の境界を表していることが確認できますか。

お礼

(Ｖ内積ｎ）が単位長さ当たりの流入量ですから、微小なｙ方向の長さｄｓ分の水の流入量を∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓはそれぞれの部分Ａ１，A2,A3Ａ４に関して足し合わせたものと考えて立式しているのでしょうか?

補足

(1)(3)に共通した質問なのですが、u(x+h/2,y+s)というのはuという関数に（x+h/2,y+s）を代入しているのであって、uかける（x+h/2,y+s）ではないのですね。
（u、ｖというのはｘ、ｙによって定まる関数ではなく、定数だと誤解していました。）
また、Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓはそれぞれＡ１なら、ｙ方向の微小増分ｄｓに(Ｖ内積ｎ)をかけて－h/2→h/2に渡ってそれを足し合わせているといえます。(Ｖ内積ｎ）ｄｓというのはどのような量を表しているのでしょうか?