重積分の問題です

質問

∬e^(-x^2+2xy-5y^2)dxdyという問題でおそらく極座標に変換するのだと思いますが、(-x^2+2xy-5y^2)の部分をどのように変換すればいいのかわかりません、解説をお願いしたいです。
rθ平面の有界閉領域は0≦r≦1、0≦π≦2πです

回答No.3

ferien · ベストアンサー

∬e^(-x^2+2xy-5y^2)dxdyという問題でおそらく極座標に変換するのだと思いますが、
＞(-x^2+2xy-5y^2)の部分をどのように変換すればいいのかわかりません
－ｘ^2＋２ｘｙ－５ｙ^2
＝－（ｘ^2－２ｘｙ＋ｙ^2）＋ｙ^2－５ｙ^2
＝－（ｘ－ｙ）^2－４ｙ^2
＝－｛（ｘ－ｙ）^2＋（２ｙ）^2｝なので、
ｕ＝ｘ－ｙ，ｖ＝２ｙとおくと、
ｘ＝u＋(ｖ/2)，ｙ＝v/2
ｘについて、ｕで微分して１、ｖで微分して1/2
ｙについて、ｕで微分して０　ｖで微分して1/2
｜Ｊ｜＝１×(1/2)－(1/2)×０＝1/2
∬e^(-x^2+2xy-5y^2)dxdy
＝(1/2)∬e^（-ｕ^2－ｖ^2）dudv
ｕ＝ｒcosθ，ｖ＝ｒsinθ　とおけば、極座標に変換できます。

どうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました、とてもわかりやすかったです。積分領域のところは自分で解決できました

回答No.5

info22_

u=x-y,v=2yの変数変換を使わせていただくなら
　x=u+(v/2),y=v/2
　ヤコビアン|J|=1/2
　dxdy=(1/2)dudv
　-x^2+2xy-5y^2=-u^2-v^2
なので
　V=∬[x^2+y^2≦1] {e^(-x^2+2xy-5y^2)}dxdy
　 =∬[(2u+v)^2+v^2≦4] {e^(-u^2-v^2)}(1/2)dudv
　 =∬[u^2+(u+v)^2≦2] {e^(-u^2-v^2)}(1/2)dudv
u=rcos(t),v=rsin(t) (0≦r,a≦t≦a+2π)の変数変換をすると
　ヤコビアン|J|=r
　dudv=rdtdt
　-u^2-v^2=-r^2
　D={(u,v)|u^2+(u+v)^2≦2}
　⇒{(r,t)|0≦r≦√2/√{cos^2(t)+(cos(t)+sin(t))^2},a≦t≦a+2π}
　 ={(r,t)|0≦r≦√2/√{(3/2)+(1/2)cos(2t)+sin(2t)},a≦t≦a+2π}
　 ={(r,t)|0≦r≦2/√{3+cos(2t)+2sin(2t)},a≦t≦a+2π}
　 ={(r,t)|0≦r≦2/√{3+√5sin(2t+b)},a≦t≦a+2π},tan(b)=1/2
　V=∫[a→a+2π]dt∫[0→2/√{3+√5sin(2t+b)}] re^(-r^2)dr
　 =∫[a→a+2π]dt[-(1/2)e^(-r^2)][0→2/√{3+√5sin(2t+b)}]
　 =(1/2)∫[a→a+2π] (1-e^(-4/{3+√5sin(2t+b)})) dt
　 =∫[a→a+π] (1-e^(-4/{3+√5sin(2t+b)})) dt
　 =π-∫[a→a+π] e^(-4/{3+√5sin(2t+b)}) dt
2t+b=2sと置換し,a=-b/2=-(1/2)arctan(1/2)と選ぶと
　V=π-∫[0→π] e^(-4/{3+√5sin(2s)}) ds
この中の積分は困難なので数値積分すると
　V=π-0.767139...
　 =2.37445...
となります。

お礼

とても細かい回答ありがとうございます、無事答えがだせました

回答No.4

ferien

ANo.3です。少し追加です。

＞ｕ＝ｘ－ｙ，ｖ＝２ｙとおくと、
として式変形した後、積分領域も変更しなければならないようですが、
それが、（この質問では）積分領域がはっきり分からないので、確かめようがありませんでした。
極座標変換する前に、積分領域も変更するようにお願いします。

回答No.2

alice_44

まず、一次変換するんじゃない？

回答No.1

Tacosan

「rθ平面」ってなんですか?