- ベストアンサー
重積分の問題
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
∬D dxdy の∫記号の部分をもっと詳しく書いてみてください。 さらに Ｄ：０≦ｘ≦１，ｘ≦ｙ≦１ を、 Ｄ：０≦ｙ≦１，？？？？？ と書き換えると、No.1の方のアドバイスが生きてきます。
その他の回答 (1)
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
∫dx =x (+ c) これがヒントです。それで判るでしょ？(^_-)
お礼
わかりました☆ ありがとうございます♪
関連するQ&A
- 重積分の問題が分かりません
∫[0→1]{∫[√y→1]e^(y/x)dx}dy という式なのですが、xについての積分しようとしたのですがド忘れしてしまって困っています。 積分するとどうなるんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の問題の質問です
∫[0→1]{∫[0→√(1-y^2)]1/√(1-x^2)dx}dy という重積分の問題があるんですが置き換えや積分範囲の変更を変えたりしてみたのですが、どうにも答えが出せません どなたか、途中式の一部でもいいので、ヒントやアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の領域について
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy を順序変更して累次積分せよ。 という重積分の問題なのですが、この積分領域がわからずに困っています。 単純に、D：{(x,y)｜0≦x≦e , 0≦y≦logx} と解釈して、この積分領域を図示すると結局、 Dは、D'：｛(x,y)｜1≦x≦e , 0≦y≦logx｝という領域と同じようになってしまい、与式の重積分のxの積分区間を0→eと書く意味がない(1→eとはじめから書いてあればいい)ので、この解釈は誤りな気がします。 そこで,0≦y≦logxの部分を 0<x≦1のとき logx≦y≦0 , 1≦x≦eのとき 0≦y≦logx という解釈をしてみて、 領域D1:｛(x,y)｜ 1≦x≦e,0≦y≦logx｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦1, logx≦y≦0｝という領域に分割してみて、順序変更するために 領域D1:｛(x,y)｜ e^y≦x≦e,0≦y≦1｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦e^y, log(1/n)≦y≦0｝ と書き直し、 (与式)=∫(0→1)dy∫(e^y→e) (1+y)/x dx + lim(n→∞) ∫(log(1/n)→0) dy∫(1/n→e^y) (1+y)/x dx として解いてみたところ、第2項が発散してしまい収束値が求められませんでした。 この領域の解釈も間違いなのでしょうか? 今回のように積分領域が捉えづらい問題の場合、どのようにそれを判別すればよいのかをご指導いただけるとありがたいです。 式の表示がわかりにくく、大変お手数をおかけしますが、回答よろしくおねがい致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の範囲 の問題が解けません・・・。；o；
次の線積分の値を求めよっていう問題なんですが・・。 1)∫c ｘ2 dx+2xydy C:(1,1)から(-1,3)へ直線で結んだもの。(x2はxの二乗のことです。) 2)∫c xydy+ ex2dy C:y=x2,向き：(0,0)→(2,4). <ex2はeのxの2乗乗で、x2はxの二乗のことです>. 3)∫c y2dx+x2dy C:x=cost,y=sint (t:0→π) <y2はyの二乗、x2はxの二乗のことです。> 答えは、1)-2, 2)3+eの4乗, 3)-4/3 です。どうやったら、これらの値になるのでしょうか？困ってます。 ；o；
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学1年です。重積分の問題が分かりません。
以下の問題が分かりません。 ∬[D]xdxdy D:x^2＋y^2=1,x≧0 積分範囲は0≦x≦1、-1≦y≦1なので(与式)=∫dy[-1,1]∫xdx[0,1]=∫1/2dy[-1,1]=1と計算したのですが答えが2/3でどこが間違っているのか分かりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分の順序の交換
非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、ｘで先に積分するか、ｙで先に積分するかで値が変わることはありますか？ 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは１でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 ｚの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、ｘとｙの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分、積分順序
重積分の問題で範囲が与えられているとします。 D=｛（ｘ、ｙ）l0≦ｘ≦1、ｘ≦ｙ≦1｝ とか。 その時に積分する順番ってｘからとかｙからとかきまってるんですか？ 具体的にいうと ∫(x=0～1)｛∫(y=x～1) f(x,y)dy}dx と ∫(y=x～1) {∫(x=0～1) f(x,y)dx}dy では違いますよね？ 積分順序を交換すると、また積分範囲を考えなおさないといけないですよね？ 僕は勝手にｘの範囲は具体的にきまっており ｙの範囲はｘによって変わるから 先に変数に左右されるｙの方を積分しないとだめなのかな？と思っていたんですが、それだと曲座標表示の時のE={(r,θ):0≦r≦a , 0≦θ≦π/2}の時みたいにｒもθも独立した範囲をもってるときはどっちからやろうがいいということなのかな？とおもったんですが・・・。 違うんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 重積分について。
重積分 解答を教えて下さい。 答えが無いので自分の回答が 正解かわかりません。どなたか回答お願いします。 1 ∬D xy dxdy (D={(x,y)∈R^2｜0≦x≦1,0≦y≦1}) 2 ∬D (|x|+|y|)dydx (D={(x,y)∈R^2 |x|+|y|≦1}) 3 ∬D (x^2+y^2)e^(x^2+y^2)^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}) 4 ∬D xy/x^2+y^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|y≧x,1≦x^2+y^2≦2}) 1 普通に計算して1/4 2 4通りの場合分けをする→原点に対称なひし形ができる。 絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４ 3 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1) 4 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる 代入してrから積分して・・・とすると積分が0になってしまいました。 積分の範囲が間違えたのかな？と思いましたができませんでした。 文章ぐちゃぐちゃで読みにくいですが回答お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
積分順序を交換するんですね（＾＾） とってもよくわかりやすい解答、ありがとございます。 なんで気づかなかったんだろうと、 自分に反省です（＾＾；；）