重積分の範囲について

質問

重積分には、その答えを求めるのに積分範囲を求める必要がありますが、２つのインテグラルの上下に数字がついている場合でなく、
D:{(x,y)| x=～ , ～<y<～}
というような範囲を示している時の、２つのインテグラルの上下に書く数値（積分範囲）というものを求めるコツがわかりません。
なんとなくじゃわかるんですが、

「何故2πになったりπ/2になったりするのか？」
「何故-1≦x≦1じゃなく、0≦x≦1になるのか？」

といったように疑問が増える一方で一向にコツを掴める気がしないです；；;

どなたかこのDで示されたx,yの範囲から積分の範囲を求めるコツを教えてください！

もしよければ極座標のときのコツもお願いします。

わかりづらい文でごめんなさい！

回答No.2

info22

＞このDで示されたx,yの範囲から積分の範囲を求めるコツを教えてください！
＞もしよければ極座標のときのコツもお願いします。

どちらも同じようなものです。
Dの領域をXY平面上に描いて見ると分かりやすいかと思います。
極座標の場合は(r,θ)平面で領域を描いてみてください。

そうすれば、重積分の積分範囲が、過不足なく決められるようになるよ。A#1の補足質問の場合
D:{(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}
まず,x+y≦1,x≧0,y≧0の領域をXY平面上にかいて下さい。
三角形の領域の内部ですね。
2重積分の外側の積分をxの積分とする場合、内側の積分の範囲をDの領域から決めてください。
x:0→1
とした場合、その範囲のx(yの積分ではxはとりあえず定数と考える)を使って、Dの領域でyの範囲を求めると
y:0→1-x
となるね。
つまり、∫[x:0→1] {∫[y:01-x] f(x,y)dy}dx
これでDの三角の領域を過不足なく積分できます。

積分の順序を逆にすると
y:0→1
x:0→1-y
となってDの全ての領域を過不足なく積分できて
∫[y:0→1] {∫[x:0→1-y] f(x,y)dx}dy
となるね。

y:0→1、x:0→1などとしたら、Dの領域を飛び出した余分な正方形領域で
積分することになってしまことになる。

＞∬ √(x^2+y^2) dxdy D:{(x,y)|x^2+y^2≦y}
＞これは極座標を使う問題ですが、さっぱりわかりませんでした。
これだって、Dの領域をXY平面にプロットしてやり、x,yの積分範囲を過不足なく積分するようにx,yの積分範囲を決めてやれば、積分を表現できますね。
Dの領域は
x^2+{y-(1/2)}^2≦(1/2)^2
ですね。
xについてはY軸に対象な円領域、
yについてはy=1/2に対称な円領域
ですから、
被積分関数がx,ｙの偶関数になっていることを使えば
積分範囲を半区間にして積分値を2倍にするテクニックが使えます。

x：0→1/2
y：(1/2)-{(1/2)^2-x^2}^(1/2)→(1/2)+{(1/2)^2-x^2}^(1/2)

これを「y:y1→y2」と書くと積分は
2∫[x：0→1/2]{∫[y:y1→y2}√(x^2+y^2) dy}dx
と表せます。

積分の順序を
y:0→1
x:0→{(1/2)^2-(y-(1/2))^2}^(1/2)
:0→(y-y^2)^(1/2)
∫[y:0→1] {2∫[x:0→(y-y^2)^(1/2)]√(x^2+y^2) dx}dy
と表せます。

極座標で積分する場合は、まずy-(1/2)=Y,x=Xの置換をしておきます。
すると、
Dは
D':{(X,Y)|X^2+Y^2≦(1/2)^2}に変わります。
dxdy=dXdY
積分は以下に変わります。
∬D' √{X^2+(Y+1/2)^2}dXdY

ここで（θの入力に手間がかかるのでtを使います）
X=rcos(t),Y=rsin(t)と置換
D":{(r,t)||r|≦1/2,|t|≦π}
でD'とD"が同じXY座標平面上で過不足なく同じ領域になっている事が分かりますか？
dXdY=rdtdr
係数のrはヤコビアンです。
積分は
∬D" √{rcos^2 t+((rsin t)+(1/2)}^2 rdrdt
=∫[t:-π→π][∫[r:0→1/2]r√{rcos^2 t+((rsin t)+(1/2)}^2 dr]dt

または
=∫[r:0→1/2] r[∫[t:-π→π]√{rcos^2 t+((rsin t)+(1/2)}^2 dt]dr

などと表せます。
どちらの変数で先に積分するかは、積分の実行が簡単になる方を選微ますね。

ここでは、積分領域の決め方に対する回答をしました。
積分領域を「XY座標軸上でプロットして、個々の積分変数の範囲を決める」方法を理解すれば、もう重積分は怖くないですね。

回答No.1

kesexyoki

コツなんてないでしょう。
たぶん大学数学ですよね？

なら臨機応変にできないとだめです。
その「わからない」例題なんかを載せてもらえば対応してみたいとは思いますが。

補足

すいません；；
例をあげてみます。

∬ y√x dxdy
D:{(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}

これは解答への過程を見ると、0≦x≦1で、0≦y≦1-xでした。
xは何となくわかるんですが、なぜyは同じような考え方で0≦y≦1としてはいけないのでしょうか？

もうひとつ。
∬ √(x^2+y^2) dxdy D:{(x,y)|x^2+y^2≦y}
これは極座標を使う問題ですが、さっぱりわかりませんでした。

大学数学ですね；；
コツというかその範囲への過程などを教えてくれたら嬉しいです。