重積分について質問です。

質問

次の累次積分の値は何になりますか。

∫[x=1,√3]{∫[y=1,y]y/(x^2+y^2)^2 dx}dy

回答No.2

info33

No.1 です。
お礼のコメントの重積分なら

J = ∫ [y=1,√3] { ∫ [x=1,y] y/(x^2+y^2)^2 dx} dy
積分の順序を入れ替えて
= ∫ [x=1,√3] { ∫ [y=x,√3] y/(x^2+y^2)^2 dy} dx
= ∫ [x=1,√3] { [(-(1/2)/(x^2+y^2)] [y=x,√3] } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { [(-1/(x^2+y^2)] [y=x,√3] } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { (1/(2x^2) - 1/(x^2+3) } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { (1/2)/(x^2) - 1/(x^2+3) } dx
=(1/2) { [-(1/2)/x -(1/√3) tan^(-1)(x/√3) ] [x=1,√3] }
=(1/2) { (1/2)( 1- 1/√3) -(1/√3) (tan^(-1)(1)-tan^(-1) (1/√3)) }
= (1/4) -{(√3)/12} - (1/6)(√3) (π/4-π/6)
= (1/4) -(1/12)(√3) - (1/72)(√3) π ... (Ans.)

お礼

丁寧にありがとうございました。助かりました。

回答No.1

info33

> ∫[x=1,√3]{∫[y=1,y]y/(x^2+y^2)^2 dx}dy
これは ∫[x=1,√3]{∫[y=1,x] y/(x^2+y^2)^2 dy} dx のミスでは?

そうであれば
I = ∫ [x=1,√3] { ∫ [y=1,x] y/(x^2+y^2)^2 dy} dx
= ∫ [x=1,√3] { [-(1/2)/(x^2+y^2)] [y=1,x] } dx
= (1/2) ∫ [x=1,√3] { [-1/(x^2+y^2)] [y=1,x] } dx
= (1/2) ∫ [x=1,√3] { 1/(1+x^2) - 1/(2x^2) } dx
= (1/2) { [ tan^(-1) x +(1/2)/x ] [x=1,√3] }
= (1/2) {(π/3 -π/4)+(1/2) (1/ √3 -1) }
= (1/2) { (π/12) +(1/6)(√3 -3) }
= (π//24) -(1/4) + {(√3)/12} ... (Ans.)

お礼

回答ありがとうございました。
大変申し訳ないのですが、xとyの積分範囲が逆になっていました。
正しくは、
∫[y=1,√3]{∫[x=1,y]y/(x^2+y^2)^2 dx}dy
です。
大変申し訳ないですが、また回答頂けると幸いです。