次の重積分について質問です。

質問

次の累次積分の値は何になりますか。
解き方を教えてください。

∫[y=1,√3]{∫[x=1,y]y/(x^2+y^2)^2 dx}dy

回答No.2

noname#232123

I=∫[1~√3]{∫[1~y]ydx/(x^2+y^2)^2}dy
=∫[1~√3]【A*y^(-2) - (1/2)y^(-2)*arctan(1/y) - (1/2)*1/{y(1+y^2)}】dy
=(1/4)*{1 - 1/√3} - pi/(24√3).
となり、前の方の結果と一致します。

回答No.1

info33

I = ∫ [y=1,√3] { ∫ [x=1,y] y/(x^2+y^2)^2 dx} dy
積分の順序を入れ替えて
= ∫ [x=1,√3] { ∫ [y=x,√3] y/(x^2+y^2)^2 dy} dx
= ∫ [x=1,√3] { [(-(1/2)/(x^2+y^2)] [y=x,√3] } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { [(-1/(x^2+y^2)] [y=x,√3] } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { (1/(2x^2) - 1/(x^2+3) } dx
=(1/2) ∫ [x=1,√3] { (1/2)/(x^2) - 1/(x^2+3) } dx
=(1/2) { [-(1/2)/x -(1/√3) tan^(-1)(x/√3) ] [x=1,√3] }
=(1/2) { (1/2)( 1- 1/√3) -(1/√3) (tan^(-1)(1)-tan^(-1) (1/√3)) }
= (1/4) -{(√3)/12} - (1/6)(√3) (π/4-π/6)
= (1/4) -(1/12)(√3) - (1/72)(√3) π ... (Ans.)

お礼

丁寧にありがとうございました。助かりました。