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重積分の問題を教えてください。
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＞∬D√(4x^2-y^2) dxdy D: ０≦y≦x≦1 ＝∫［０→１］dx・∫［０→ｘ］√(4x^2-y^2)ｄｙ ＞√(4x^2-y^2)=2√(1-y^2/4x^2)=2√（1-（y/2x)^2） ＞y/2x=sinθとすると ｙ=2xsinθ ｄｙ=2xcosθdθ 続きから、 ｙ=2xsinθを代入して、 √(4x^2-y^2)＝２ｘ√（１－sin^2θ）＝２ｘcosθ ｙ：０→ｘは、θ：０→π/6 ∫［０→１］dx・∫［０→ｘ］√(4x^2-y^2)ｄｙ ＝∫［０→１］dx・∫［０→π/6］２ｘcosθ・2xcosθdθ ＝∫［０→１］４ｘ^2dx・∫［０→π/6］cos^2θdθ ここで、２倍角の公式より、 ∫［０→π/6］cos^2θdθ ＝∫［０→π/6］(1/2)（１＋cos2θ）dθ ＝(1/2)［θ＋(1/2)sin2θ］［０→π/6］ ＝(1/2)｛π/6＋(1/2)sin（π/3）｝ ＝(1/2)（π/6＋√3/4） ∫［０→１］４ｘ^2dx・∫［０→π/6］cos^2θdθ ＝∫［０→１］４ｘ^2×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝dx ＝４×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝・∫［０→１］ｘ^2dx ＝４×｛(1/2)（π/6＋√3/4）｝×（１／３） ＝(1/18)（３√３＋２π） でどうでしょうか？
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- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
♯２ですが 高校生ではないですよね・・・ ∫√(a^2-x^2)dx=(1/2){x√(a^2-x^2) +(a^2)sin^(-1)(x/a)} sin^(-1)( )はsinの逆関数の意味。 という公式習いませんでしたか。 問題の式で，yについての積分とみなすときは4x^2=(2x)^2は定数扱いです。
お礼
ご指摘いただいた公式で解けること理解できました。 今まで気づかずにいたので大変参考になります。 ありがとうございます。
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
√（4x^2 -y^2)のｙについての不定積分は公式を使って (1/2){y√(4x^2-y^2) + 4x^2sin^(-1)(y/2x)} これをy：0→xで定積分 結果をｘについて積分（ｘ：0→1）
お礼
どうもご回答ありがとうございます。 自分の勉強不足で申し訳ないですが、 どの公式をどのように使えば上式になるか 教えていただけると助かります。
- Ae610
- ベストアンサー率25% (385/1500)
∬D√(4x^2-y^2) dxdy = ∫[0,1]{4x^2}dx・∫[0,π/6]{cos^2θ}dθ
お礼
ご解答ありがとうございます。 よろしければ、途中の式なども教えていたくと 助かります。
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お礼
自分の考えの続きから回答していただき、 わかりやすく、大変助かります。 どうもありがとうございました。