重積分の問題です

質問

f(x)は0<=x<=aにおいて連続として
∬f(x+y)dxdy=∫xf(x)dx D={(x,y);x>=0,y>=0,x+y=a}
を示せ。という問題が分かりません。どなたかヒントでもいいので教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

重責分の問題は分かりにくいですね。私もよく分かりません。fが連続なので変数変換や積分順序の交換は問題ないものとします。
　x+y=p　あるいは　x=q
　x =q　　　　　　　y=p-q
という変数変換をすると教科書にあるように積分変数の変換にはヤコビアンを計算する必要があります。
　dx = (∂x/∂p)dp + (∂x/∂q)dq = dq
　dy = (∂y/∂p)dp + (∂y/∂q)dq = dp - dq
　dx^dy = dq^dp
ここで領域Dは(p,q)で表わすとp=a, q=0, p=qの直線で囲まれた領域になります。qについての積分してからpについて積分することにすると
　∬f(x+y)dx^dy = ∫[0→a]dp∫[0→p]dq f(p)
　　　　　　　= ∫[0→a]dp pf(p)
ここでaからbまでの定積分を
　∫[a→b]dx f(x)
のように書いています。

お礼

私の舌足らずなとこまで察して回答してくださってたんですね。恐れ入りました。
またよろしくお願いします。ありがとうございました。

補足

f(x)は0<=x<=aにおいて連続として
∬f(x+y)dxdy=∫[a～0]xf(x)dx D={(x,y);x>=0,y>=0,x+y=a}
の証明でした。申し訳無いっス。