重積分について教えてください

質問

次の3点について教えてください。
（１）∬D sqrt{(1-x^-y^)/(1+x^+y^)}dxdy,D={(x,y)｜x^+y^≦1} の値を
求めよ。

（２）∬D(x+y)4^dxdy,d={(x,y)｜x^+2xy+2y^≦1} の値を求めよ。

（３）f(x)=sqrt(1+x),｜x｜<1 のマクローリン展開を用いて sqrt101 を
小数第5位まで求めよ。

回答No.2

i536 · ベストアンサー

(2)
領域x^2+2xy+2y^2≦1より、(x+y)^2+y^2≦1となるから、-1≦y≦1
x^2+2xy+(2y^2-1)=0をxについて解くと、x=-y±√(1-y^2).

∫∫(x+y)^4dxdy
=∫(y=-1～1)dy∫(x=-y-√(1-y^2)～-y+√(1-y^2))(x+y)^4dx
=∫(y=-1～1)dy[(x+y)^5/5](x=-y-√(1-y^2)～-y+√(1-y^2))
=(2/5)∫(y=-1～1)(√(1-y^2)^5dy

y=sinΘとおくと、dy=cosΘdΘより

=(2/5)∫(Θ=-π/2～π/2)(cosΘ)^5cosΘdΘ
=(4/5)∫(Θ=0～π/2)(cosΘ)^6dΘ
=(4/5)((5×3×1)/(6×4×2))(π/2)
=π/8.

回答No.1

i536

(3)
与式f(x)=sqrt(1+x)の両辺を２乗すると、
f^2=1+x
両辺をxで微分すると、
2f*f'=1 ---(1)
f(0)=1より f'(0)=1/2.

(1)をさらにxで微分すると、

2(f'*f' + f*f'')=0 ---(2)
f(0)=1, f'(0)=1/2より f''(0)=-1/4.

(2)の両辺を２で割った後にさらにxで微分すると、
2f'*f'' + f'*f''+ f*f'''=0 ---(3)
f(0)=1, f'(0)=1/2, f''(0)=-1/4 より f'''(0)=3/8.

以下同様に（２項定理を用いて)、 fの高次微分の０点での値が求まります。

マクローリン展開、
f(x)=f(0) + f(0)x/1! + f(x)x^2/2!+ f(x)x^3/3! + ・・・ ---(4)
にf(0)=1, f'(0)=1/2, f''(0)=-1/4 ,f'''(0)=3/8 を代入すると、
下記(5)を得ます。

sqrt(1+x)=1 + x/2 -x^2/8 + x^3/16 - ・・・ ---(5)

式(5)より、
root(101)
＝10root(1.01)
＝10root(1+0.01)
≒10(1 +0.005 -0.0000125)
＝10.049875
≒10.04988