重積分の問題なんですが

質問

3重積分の問題で領域Ｄが x+2y+3z≦6 , 0≦x,y,zで
∬∫ydxdydz　を領域Ｄについて積分する問題なんですがx,y,zの積分範囲がどうなるのか分からなくて解けません
答えは9/2になるようなんですが・・・

どなたかご教授下さい。お願いします

回答No.1

Mr_Holland

このような重積分をとくためには、まず積分区間を各変数ごとに分けて記述しなおすと良いと思います。
　そのための１つの方法としては、まずｘの範囲を決めて、固定されたｘの中で、ｙの範囲を求め、次にｘとｙを固定したときのｚの範囲を求めます。

　　Ｄ：x+2y+3z≦6 , 0≦x,y,z
　⇔Ｄ：0≦x≦6, 0≦y≦3-x/2, 0≦z≦2-x/3-2y/3

　したがって、求める積分をＩとおきますと、次のようになります。

　Ｉ＝∬∫ydxdydz
　　＝[x=0→6]∫dx [y=0→3-x/2]∫ydy [z=0→2-x/3-2y/3]∫dz
　　＝[x=0→6]∫dx [y=0→3-x/2]∫ydy(2-x/3-2y/3)
　　＝[x=0→6]∫dx (1/9)(3-x/2)^3
　　＝9/2

お礼

分かりやすい指導ありがとうございました!!他の問題もこのような解法で解けました。
あさって試験だったので本当に助かりましたm(_ _)m