重積分を用いた、体積の求め方

質問

球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)と円柱x^2+y^2=axで囲まれた立体の体積を求めよ、という問題があります。
領域D=｛(x,y)|x^2+y^2≦ax｝上で関数z=±√(a^2-x^2-y^2)に関する
2∬D|z|dxdyが求める体積です。極座標に変換すると、θの範囲は-π/2≦θ≦π/2で、ｒの範囲は0<r≦acosθですね。
求める体積は、2∬D｛√(a^2-x^2-y^2)｝dxdy=2∫{-π/2→π/2}∫{0→acosθ}√(a^2-r^2)*rdrdθ=
-2/3*∫{-π/2→π/2}(a^3*(sinθ)^3-a^3)dθ

ここで、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍しなければ正しい答えが出ません。（(sinθ)^3は奇関数なので、当然異なった値が出る。）
なぜ、θの範囲を0→π/2に変えて、全体を2倍する作業をしなければならないのでしょうか？
答えは2a^3*(3π-4)/9となっております。

回答No.3

noname#111804 · ベストアンサー

こんにちは。
（sinθ）＾２＋（cosθ）＾２＝１・・・・・・・（１）
と言う公式をよく使う。

しかし、（１）式をも少し分析すると
（±sinθ）＾２＋（±cosθ）＾２＝１・・・・・（２）
と言う情報を持っていることがわかる。

とにかく、（１）式は（２）式を意味しているのです。
では、（２）式をも少し詳しく分析してみる。

（第I象限）において

（＋sinθ）＾２＋（＋cosθ）＾２＝１・・・・・（３）
sinθ＜ーーー＞cosθに変換する場合（３）式を
使う必要があります。
なぜなら
sinθ＞０、cosθ＞０であるからです。

（第II象限）の場合
（＋sinθ）＾２＋（－cosθ）＾２＝１・・・・・（４）
を使う必要があります。
なぜなら
sinθ＞０、cosθ＜０であるからです。

（第III象限）の場合
（－sinθ）＾２＋（－cosθ）＾２＝１・・・・・（５）
式を使う必要がありますね。
なぜなら
sinθ＜０、cosθ＜０であるからです。

（第IV象限）の場合
（－sinθ）＾２＋（＋cosθ）＾２＝１・・・・・（６）
式を使う必要がありますね。
なぜなら
sinθ＜０、cosθ＞０であるからです。

したがって-π/2≦θ≦０の領域（第IV象限）で計算する場合は（６）式を使う必要があるのです。
この点に気をつけて計算すると正しい答えが出てきます。

お礼

ありがとうございました。
４つの象限に分け、正負の関係を丁寧に教えてくださって助かりました。
このご回答をもとに作成された、もうひとつのご回答のほうもありがとうございました。

回答No.4

noname#111804

球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)と円柱x^2+y^2=axで囲まれた立体の体積を求めよ、という問題があります。
領域D=｛(x,y)|x^2+y^2≦ax｝上で関数z=±√(a^2-x^2-y^2)に関する
2∬D|z|dxdyが求める体積です。
===================================

領域D=｛(x,y,z)|x^2+y^2≦ax,x>０、ｙ＜０、ｚ＞０｝上で
関数z=＋√(a^2-x^2-y^2)に関する体積Vを求めます。
４＊Vが元の問題の解答ですね。

・積分領域「-π/２、０」

ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ

ヤコビヤン｜J|＝ｒとなります。
つまり
dxdyーーー＞ｒｄθdｒ・・・・・（３）

V=∫[θ=-π/2、θ=０]∫[r=0,r=acosθ]√(a^２-r^2)(r) dr dθ
＝∫[θ=-π/2、θ=０]dθ [（-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝] [ｒ＝0,r=acosθ]
＝a^3/3∫[-π/2、０]（1+sinθ＾３）dθ
（＃３における公式（６）を使います。ここがポイントです。）

＝a^3/3[（θ-cosθ+（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、θ=０]
＝（a^3/３）（-1+1/3+π/2）・・・・・（４）
＝（a^3/３）（3π-4)/6）・・・・・（5）
＝（a^3）・（3π-4)/18・・・・・（６）

ここで、
４＊V＝２（a^3）・（3π-4)/９・・・・・（７）
となり、正解が求まりますね。

回答No.2

info22

過去問で同じ問題で同じ質問に回答していますのでご覧下さい。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4683822.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4689373.html

お礼

リンクありがとうございました。
象限と正負の関係で混乱するケースは多いみたいですね。
そこがこの問題の難しいところだと思いました。

回答No.1

Tacosan

r で積分したときに, ルートを何も考えずに外したから.
√(1 - cos^2 θ) と sin θ
が常に等しいわけじゃない.

お礼

ありがとうございました。
sin θがマイナスになる場合もあるんですね。