重積分で体積を求める問題です。{(x,y,z)|√x/a＋√y/b+√

質問

重積分で体積を求める問題です。{(x,y,z)|√x/a＋√y/b+√z/c<=1}(a,b,c>0)の体積を求めよ。
自分は積分領域Ｄ：√x/a+√y/b<=１、x,y>=0としてx=ar^2cos^4θ、y=br^2sin^2θと置いてJ=8abcr3sin^3θcos^3θ,ＤをＭ：0<=r<=1,0<=θ<=π/2に写して計算したのですが答えが合いません。
どなたか教えていただけないでしょうか。正解はabc/90になります。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

問題の解釈が違っているようでしたので

A#2の補足の通りに
{(x,y,z)|√(x/a)＋√(y/b)+√(z/c)<=1,x>=0,y>=0,z>=0(a,b,c>0)}の体積
として
質問者さんの計算通りにやってみると正しい答えが出てきます。
補足の途中までは正しいので省略して間違い箇所から書くと
>V=∫（０→π/2）∫（0→1）ｃ（1-√(x/a)-√(y/b))^2×8abr^3sin^3θcos^3θdrdθ
V=∫(0→π/2)∫(0→1）c(1-r)^2×8abr^3sin^3θcos^3θdrdθ
=abc∫(0→π/2){sin(2θ)}^3dθ∫(0→1）(1-r)^2×(r^3)dr
と変数分離が出来て、各積分は容易に積分できて
=abc/90
と出てきますので　やってみて下さい。

お礼

ありがとうございます。助かりました。（＾ｕ＾）

回答No.3

112233445

別解
√x/a+√y/b=1 とx,y軸で囲まれた面積はab/6(積分で簡単)
与式を次のように変形する
√x/a＋√y/b=1-√z/c
両辺を1-√z/cで割る
√x/a(1-√z/c)^2＋√y/b(1-√z/c)^2=1
よって、求める体積は
√x/a+√y/b=1 の場合を参考にして

ab/6∫(1-√z/c)^4dz　　0<=z<=c で
計算するとabc/90となります。

お礼

ありがとうございます。こんな方法があるとは知りませんでした。)^o^(

回答No.2

info22_

>√x/a＋√y/b+√z/c<=1，(a,b,c>0)の体積を求めよ。

√(x/a)＋√(y/b)+√(z/c)≦1　ですね？

>積分領域Ｄ：√x/a+√y/b<=１、x,y>=0としてx=ar^2cos^4θ、y=br^2sin^2θと置いて
D:√(x/a)+√(y/b)≦１、x,y>=0として　x=ar^2cos^2θ、y=br^2sin^2θ,0≦θ≦π/2ですね？

>J=8abcr3sin^3θcos^3θ
これは合っていますか？
僕の計算では　J=2ab(r^3)sin(2θ) となりましたが…。

>計算したのですが答えが合いません。
計算と答えをお書き下さい。

>正解はabc/90になります。
これは合っていますか？
僕の計算ではこの答えにはなりません。

>Ｍ：0<=r<=1,0<=θ<=π/2
とすると積分Iは
I=8∫[M] c(1-rcosθ-rsinθ)^2*2ab(r^3)sin(2θ)drdθ
=16abc∫[θ:0→π/2]sin(2θ){∫[r:0→1](r^3)(1-rcosθ-rsinθ)^2dr}dθ
=(10π-28)abc/15≒0.2277284…
となりました。

結果は正しいかは保証の限りではありませんので、ご自身で計算してチェックしてみて下さい。

補足

計算の仕方は、与式をｚ＞＝０について解いて
　Z=c(1-√（x/a）-√(y/b))^2となる。
積分領域はＤ：１＞＝√(x/a)+√(y/b) 、x,y>=0
ここでｘ＝ar^2cos^4θ、y=br^2sin^4θと置くと、J=8abr^3sin^3θcos^3θとなる。
ＤはＭ：1＞＝ｒ＞＝0，0＜＝θ＜＝π/2に写る。
求める体積Ｖは、
V=∫（０→π/2）∫（0→1）ｃ（1-√(x/a)-√(y/b))^2×8abr^3sin^3θcos^3θdrdθ
=(8/15×9)abcになりました。この問題が載っている参考書には、この問題の答えはabc/90でした。

回答No.1

Tacosan

「√x/a」は「√(x/a)」ですか? それとも「(√x)/a」ですか? 区別できるようきちんと書いてください.
あと, これではあなたがどのように計算したのか全く分かりません. 詳しく書いてください.
まあ, 個人的には積分領域をそのように設定した時点ですでに迷路に足を突っ込んでるような気がするが....