重積分(物理)

質問

xy平面に置いた薄い板の慣性モーメントの計算で、
I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∫ρx^2 dxdy +∫ρy^2 dxdy
という変形はしてよいのでしょうか？

z軸方向に伸びる円柱の慣性モーメントの計算で、
I_z =∬∫dxdydz ρ(x^2 +y^2) = ∬∫ρx^2 dxdydz + ∬∫ρy^2 dxdydz
と同様に分離して計算してみると、
x^2 +y^2=r^2,dxdy=2πrdrとして計算する解法と答えが一致しません。

やはり薄い板の慣性モーメントも円柱のように極座標で置くのでしょうか？板が長方形だとそのようには置けない気がするのですが？

重積分についてあまりわかっていないので、その辺りを回答してくださるとありがたいです。わかる方、回答をお願いします。

回答No.1

noname#168349 · ベストアンサー

＞xy平面に置いた薄い板の慣性モーメントの計算で、
I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∫ρx^2 dxdy +∫ρy^2 dxdy
という変形はしてよいのでしょうか？

I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∬ρx^2 dxdy +∬ρy^2 dxdy
と二重積分にすべきでしょう。

＞z軸方向に伸びる円柱の慣性モーメントの計算で、
I_z =∬∫dxdydz ρ(x^2 +y^2) = ∬∫ρx^2 dxdydz + ∬∫ρy^2 dxdydz
と同様に分離して計算してみると、
x^2 +y^2=r^2,dxdy=2πrdrとして計算する解法と答えが一致しません。

これらの操作自体は適切です。途中でどちらか（または両方）で計算間違いがあるのでは？

＞やはり薄い板の慣性モーメントも円柱のように極座標で置くのでしょうか？板が長方形だとそのようには置けない気がするのですが？

薄い板の場合でも板が円形であれば極座標を用いると計算が楽です。板が長方形だと極座標を用いても計算は楽になりません（むしろきつくなる）。

お礼

回答ありがとうございます。
∬ρx^2 dxdy +∬ρy^2 dxdy　のように分離すること自体は問題ないということは理解できました。
計算が合わないのは、おそらく積分範囲をミスしていると思うので、補足で積分範囲について再度質問させていただくので、さらに回答していただけると助かります。

補足

薄い板の場合は、板の厚さ2a,2bに対して
-a≦x≦a,-b≦y≦b
の積分範囲で間違いないと思うのですが、
円柱の場合、半径a,高さbに対して
-a≦x≦a,-a≦y≦a
としていたのですが間違いなのでしょうか？

円柱の場合は-√a^2-y^2≦x≦√a^2-y^2 のようにする気もするのですが、それはxy平面での境界が薄い板はx=a,y=bのようにx,y別々で書け、円柱はx^2+y^2=a^2となることに由来するのですか？

回答No.3

noname#168349

-a≦x≦a,-a≦y≦a
では積分範囲は正方形になってしまいます。

先にxで積分するなら、積分範囲は
-√(a^2-y^2)≦x≦√(a^2-y^2) , -a≦y≦a
です。

計算は大変ですが、答えは極座標を使った場合と同じになります。

お礼

積分範囲の図形でx,yの変域が変化するのですね。納得できました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

bibendumbibendum

重積分をするエリアの意識が薄いせいではないでしょうか。
円盤の場合には
x^2 +y^2＜＝R^2
一辺Lの正方形の板の場合には
絶対値ｘ＜＝L/2、絶対値ｙ＜＝L/2
のなかで積分するという縛りがあります。

円盤の場合ｘｙ変数で積分する場合は
ｘで領域を０から√（R^2-y^2）まで積分して、それからｙで積分すると
ｒθで積分したのと同じ結果がえられるかもしれません。
むずかしいからやったことないです。

お礼

重積分の積分範囲についてわかっていませんでした。
円柱ではxの積分範囲に√（R^2-y^2）が出てくるのがわかりました。
回答ありがとうございました。