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重積分(物理)
xy平面に置いた薄い板の慣性モーメントの計算で、 I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∫ρx^2 dxdy +∫ρy^2 dxdy という変形はしてよいのでしょうか？ z軸方向に伸びる円柱の慣性モーメントの計算で、 I_z =∬∫dxdydz ρ(x^2 +y^2) = ∬∫ρx^2 dxdydz + ∬∫ρy^2 dxdydz と同様に分離して計算してみると、 x^2 +y^2=r^2,dxdy=2πrdrとして計算する解法と答えが一致しません。 やはり薄い板の慣性モーメントも円柱のように極座標で置くのでしょうか？板が長方形だとそのようには置けない気がするのですが？ 重積分についてあまりわかっていないので、その辺りを回答してくださるとありがたいです。わかる方、回答をお願いします。
- gokigen777
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＞xy平面に置いた薄い板の慣性モーメントの計算で、 I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∫ρx^2 dxdy +∫ρy^2 dxdy という変形はしてよいのでしょうか？ I_z =∬dxdy ρ(x^2 +y^2) =∬ρx^2 dxdy +∬ρy^2 dxdy と二重積分にすべきでしょう。 ＞z軸方向に伸びる円柱の慣性モーメントの計算で、 I_z =∬∫dxdydz ρ(x^2 +y^2) = ∬∫ρx^2 dxdydz + ∬∫ρy^2 dxdydz と同様に分離して計算してみると、 x^2 +y^2=r^2,dxdy=2πrdrとして計算する解法と答えが一致しません。 これらの操作自体は適切です。途中でどちらか（または両方）で計算間違いがあるのでは？ ＞やはり薄い板の慣性モーメントも円柱のように極座標で置くのでしょうか？板が長方形だとそのようには置けない気がするのですが？ 薄い板の場合でも板が円形であれば極座標を用いると計算が楽です。板が長方形だと極座標を用いても計算は楽になりません（むしろきつくなる）。
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-a≦x≦a,-a≦y≦a では積分範囲は正方形になってしまいます。 先にxで積分するなら、積分範囲は -√(a^2-y^2)≦x≦√(a^2-y^2) , -a≦y≦a です。 計算は大変ですが、答えは極座標を使った場合と同じになります。
お礼
積分範囲の図形でx,yの変域が変化するのですね。納得できました。 回答ありがとうございました。
- bibendumbibendum
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重積分をするエリアの意識が薄いせいではないでしょうか。 円盤の場合には x^2 +y^2＜＝R^2 一辺Lの正方形の板の場合には 絶対値ｘ＜＝L/2、絶対値ｙ＜＝L/2 のなかで積分するという縛りがあります。 円盤の場合ｘｙ変数で積分する場合は ｘで領域を０から√（R^2-y^2）まで積分して、それからｙで積分すると ｒθで積分したのと同じ結果がえられるかもしれません。 むずかしいからやったことないです。
お礼
重積分の積分範囲についてわかっていませんでした。 円柱ではxの積分範囲に√（R^2-y^2）が出てくるのがわかりました。 回答ありがとうございました。
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お礼
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