重積分についての質問です。

質問

重積分の問題がわからなくて困ってます
教えてください

I(a)=∬D e^-(x+y) dxdy
D={(x,y)|x≧0,y≧0,x+y≦a}

重積分I(a)を求め
I(a)をaの関数を考え、定義域 0<a<+∞ に対して
極値、変曲点、極限を考慮してそのグラフを書きなさい。

特に、グラフがどのようになるかが分かりません。
とき方も教えてくださるとすごくうれしいです
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
>I(a)=-{e^(-a)}(a+1)+1
ですね。

I'(a)=a e^(-a)
I''(a)=(1-a)e^(-a)
変曲点はI''(a)=0からa=1の所が変曲点が出てきて、
このときのI(a)の値を求めると
I(1)=-{e^(-1)}*2+1=1-(2/e)
となりますね。
a>0なので常にI'(a)>0
なのでf(a)は定義域 0<a<+∞で単調増加関数ですので、
I(a)はこの定義域で極値を持たないことが分かりますね。
また、
lim[a→∞]　I'(a)=lim[a→∞] a/e^a=lim[a→∞] 1/e^a=0
lim[a→∞]　I''(a)=lim[a→∞] (1-a)/e^a=lim[a→∞] -1/e^a=0
I(a)は単調増加関数で、その傾きI'(a)がゼロに近づき、増加割合もゼロに近づきますのでI(a)は上限があり、それに収束することが分かります。
実際
lim[a→∞]　I(a)=lim[a→∞] {1-(a+1)/e^a}=1-lim[a→∞] (a+1)/e^a
=1-lim[a→∞] 1/e^a =1-0=1
なので上限は1で、y=1が漸近線ということが分かりますね。

こういった説明よりも、グラフを描けば一目瞭然ですね。

お礼

すごくよく分かりした！
丁寧にありがとうございます

回答No.4

noname#111804

二重積分の問題は体積を求める問題に置き換えると
理解しやすい。

お礼

答えありがとうございます！

回答No.2

info22

サイトの投稿のマナーとして以下のことが求められています。
------------------------------------------------------------------
基本的なマナーとして、ご自身である程度問題解決に取り組まれた上での
疑問点や問題点、お困りの点を明確にしてご投稿いただきたい。
------------------------------------------------------------------
をご存知なら、自分の解答を何も書かないで解き方や解説をまるまる求めるのではなく、質問者さんのやられた解答の過程を詳細を補足に書いた上で行き詰っていて分からない所だけを質問するようにして下さい。

アドバイス)
#1さんのヒントで積分の仕方がありますので、そのアドバイスで導出されるI(a)のグラフだけ描いて添付図としておきますので参考にして下さい。
極値なし、変曲点(1,1-(2/e),I(∞)=1(漸近線y=1)

お礼

グラフを見て理解することができました
本当にありがとうございます

補足

質問の仕方に問題があると指摘していただきありがとうございました
これから先、気をつけるよう心掛けます

I(a)=-e^-a (a+1)+1

と重積分は出たのですが
グラフの書き方がわかりませんでした

回答No.1

pascal3141

I(a)=∬ e^-(x+y) dxdyは、まず ∫e^-x dx(0→a-y)を積分して、1－
e^(y-a)次にこれをyで積分、I(a)=∫(1－e^(y-a))dy(0→a)これでIはa
のみの関数になるので、グラフがわかります。

お礼

解き方を教えていただきありがとうございました！