積分の計算について

質問

ｘ＝ｓiｎθ、ｙ＝ｓiｎ２θ　（０≦θ≦π）
(1)S＝２・∫[０→１]ｙｄｘ
(2)　＝２∫[０→π／２］ｙ・（ｄｘ／dθ）dθ
(3)　＝２∫[０→π／２]ｓiｎ２θ・ｃoｓθdθ
(4)　＝-４∫[０→π／２]ｃoｓ＾２θ・（-ｓiｎθ）dθ
(5)　＝-４［１／３・ｃoｓ＾３θ］［０→π／２]
(6)　＝（-４／３）・（-１）
(7)　＝４／３
となるのですが、どうすれば(3)、(4)、(5)になる
のか分かりません。よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足質問の回答

>教えてください。（４）の-４の-はどうしてつくのですか。

>>S=4∫[0->π/2] cos^2θsinθdθ
>>(4)S=-4∫[0->π/2] cos^2θ(-sinθ)dθ
後の「(-sinθ)」のsinθの項に「-」を作ったためです。

>（４）の（-sinθ）はどうして（ｃoｓθ)' になるのですか。
(cosθ)'=d(cosθ)/dθ=-sinθ

が分かりませんか？
こうなることを見越して
(4)でsinθの前に「-」を作ったことを理解しないとだめですよ。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。補足にも答えていただきとても感謝しています。大変親切丁寧な解説で、よく理解できました。

回答No.2

info22_

(2)->(3)
y=sin(2θ),dx/dθ=(sinθ)'=cosθなので
ydx=y(dx/dθ)dθ=sin(2θ)cosθdθ

(3)S=2∫[0->π/2] sin(2θ)cosθdθ

(3)->(4)
sinの2倍角の公式を適用して
sin(2θ)cosθdθ=2sinθcosθcosθdθ=2sinθcos^2θdθ

S=4∫[0->π/2] cos^2θsinθdθ
(4)S=-4∫[0->π/2] cos^2θ(-sinθ)dθ

　=-4∫[0->π/2] cos^2θ(cosθ)'dθ
=-4∫[0->π/2] ((1/3)cos^3θ)'dθ
(5)S=-4[(1/3)cos^3θ] [0->π/2]
=-(4/3)[cos^3(π/2)-cos^3(0)]
=-(4/3)[0-1]

あとは(6)に続きます。

補足

教えてください。（４）の-４の-はどうしてつくのですか。（４）の
（-ｓiｎθ）はどうして（ｃoｓθ）´になるのですか。よろしくお願い
します。

回答No.1

Tacosan

それは (例えば) 「どうして (2) から (3) になるのかがわからない」ということですか?