逆三角関数の微分
- 逆三角関数の微分について、ある問題集に提示された式 arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 の証明方法を求めています。
- 解答では、arctan(x)=α,arctan(1/x)=β とおくことで、tan(α+β)=… という式を用いて証明していますが、この証明方法について疑問があります。
- 質問者は左辺を微分することで証明を試みようとしていますが、arctan(1/x) の微分方法がわからないと述べています。計算方法についてのアドバイスを求めています。
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逆三角関数の微分
ある問題集に arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 (x>0) となることを証明せよ。 という問題がありました。 解答では arctan(x)=α,arctan(1/x)=β とおけば tanα=x,tanβ=1/x となるので、 tan(α+β)=… と加法定理を用いると、分母が0になる。よって α+β=π/2 となっていたのですが、どうも 「分母が0になるので」 というのが、証明として何となく腑に落ません。 そこで、左辺を微分すると0になることを示せば左辺は定数であり、例えば x=1 を代入すれば、その定数が π/2 になることを示せる! と思ったのですが、 arctan(1/x) がうまく微分できません。 計算の仕方を入力するのは大変だと思うので、方針だけでもいいので教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
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tan^-1xの微分は (tan^-1x)'=1/(1+x^2)ですから、 合成関数の微分でいいのではないでしょうか。 [tan^-1(1/x)]'=-(1/x^2)/{1+(1/x)^2} =-/(x^2+1)
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