逆三角関数の微分

質問

y=(arccos(x/a))^2

y=1/2(x√(a^2-x^2)+a^2arcsin(x/a))

（aは定数）

を微分せよ。という2つの問題が途中までしか解けなくて答えに導くことができません。
どなたかわかる方、解いていただけないでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

途中までやった計算式を書いてくれればどこまでできてどこで間違ったのかチェックで切ますので、
投稿する際はやった途中計算を書くようにして下さい。

a＞0としておきます。

(1)
　y=(arccos(x/a))^2
　y'=2arccos(x/a)*(arccos(x/a))'=2arccos(x/a)*u' ...(A)

ここで　u=arccos(x/a)(0≦u≦π,-1≦x/a≦1))とおくと
　cos(u)=x/a, sin(u)=√(a^2-x^2)/a
xで微分
　-sin(u)u'=1/a
　u'=-(1/a)/sin(u)=-1/√(a^2-x^2)

u'を式(A)に代入すればよい。

(2)
y=(1/2)(x√(a^2-x^2)+a^2arcsin(x/a))
y'=(1/2)(√(a^2-x^2)-(x^2)/√(a^2-x^2)+(a^2)u')
　 =(1/2)(a^2-2x^2)/√(a^2-x^2) +(1/2)(a^2)u'　...(B)
ここで、u=arcsin(x/a)(-1≦x/a≦1,-π/2≦u≦π/2)とおくと
　sin(u)=x/a, cos(u)=√(a^2-x^2)/a
xで微分
　cos(u)u'=1/a, u'=1/√(a^2-x^2)

u'を式(B)に代入して式を整理すればよい。

回答No.1

Tacosan

その「途中まで」を書いてみてください.