微分の証明？

質問

異なる定数ｃとともに、(-∞,-1),(-1,1),(1,∞)のそれぞれのインターバル(区画)で
arctanx=1/2*arctan(2x/(1-x^2)+c
を証明。
この場合の定数cを見つけよ。
なんですけど、

arctanx-1/2*arctan(2x/(1-x^2)-c=0
にしてこれを微分してからゎかりません＞＜；
0になりません。
むしろこれってここで微分してもいいでしょうか…。

解き方わかる人アイディアだけでもいいんでお願いします。

それと問題は英訳しただけなので少しわかりにくいかもしれません＞＜

回答No.3

endlessriver

１．すみません。{-1/(1+x)+1/(1-x)}のミスでした。これは双曲線の式-1/xをｘ方向へ－１と＋１だけ平行移動したグラフの和です。

２．xの範囲は(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)にわかれます。グラフ2x/(1-x^2)={-1/(1+x)+1/(1-x)}をみれば上の範囲に対するこのグラフの値域が(0,+∞),(-∞,+∞),(-∞,0)です。

３．(-π/2,-π/4),(-π/4,π/4),(π/4,π/2)の範囲をとるtanAの値域はtanAのグラフからそれぞれ(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)となります。

なかなかうまく説明できないで申し訳ない。
実は、この問題は昔から気になっており、仕事でも使っていたので今回、よく考えてみました。でもホントはもっと解析的？に解きたかったので、他の方の解答も待ってみて下さい。

お礼

ぁ～わかりました！ぃぇぃぇ申し訳ないなんで十分ですよ！ありがとうございます。仕事で使ったりするんですねぇ…Σ(・ω・`；o)oじゃぁちょっと待ってみます(≧▽≦　)
それとほかのサイトでも教えて!gooみたぃなのやってたので同じ質問をしてみたところ、一つ回答が寄せられたので参考に載せてみます。

まず θ = 1/2 arctan(2x/(1 - x^2) と置きます。
両辺 2 倍して tan をとれば

2x/(1 - x^2)
= tan(2θ)
= 2 tanθ/(1 - (tanθ)^2))

となります。整理すると

x (tanθ)^2 + (1 - x^2) tanθ - x = 0
(tanθ - x)(x tanθ + 1) = 0

から tanθ = x, -1/x であり θ = arctan x + mπ/2 (m ∈ N)
です。θ の定義から

arctan x = 1/2 arctan(2x/(1 - x^2)) + c ・・・ (*)
c = nπ/2 (n ∈ N)

となります。

関数 c(x) = arctan x - 1/2 arctan(2x/(1 - x^2)) を定義すると
c(x) は x = -1, 1 で不連続で、その他の点で定数値をとる関数です。
そこで具体的に x = -√3, 0, √3 での値を計算してみると

c(-√3) = -π/3 - 1/2 π/3 = -π/2
c(0) = 0
c(√3) = π/3 + 1/2 π/3 = π/2

です。したがって (*) の定数は

x < -1 のとき c = -π/2
-1 < x < 1 のとき c = 0
x > 1 のとき c = π/2

となります。

回答No.2

endlessriver

x=tanA
y=tan2A=2x/(1-x^2)(1)
ここで|A|<π/2を考えています。(1)式の左辺は{-1/(1+x)+1/(1-1)}ですから双曲線が２つ重なったグラフとなり、xは指摘のつぎの３つの領域で考えられます。
(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)です。
これに対するx=tanAのAの範囲はそれぞれ
(-π/2,-π/4),(-π/4,π/4),(π/4,π/2)です。(2)
これに対するy(=tan2A)=2x/(1-x^2)の値域はそれぞれ
(0,+∞),(-∞,+∞),(-∞,0)です。

すなわち、これらを値域とするtan2Aの2Aが|2A|<π/2の範囲でとる値はそれぞれ
(0,π/2),(-π/2,π/2),(-π/2,0)です。
これらを2Aの２で割ったものにcを加えると(2)のAの範囲と一致しなければなりません。

するとcはそれぞれ、-π/2,0,π/2となります。

補足

詳しい回答本当にありがとうございます。
あなたの回答をベストアンサーに選ばせていただきたいのですが、その前に２つほど質問が…＞＜。
ほんとにごめんなさぃ(汗

＞(1)式の左辺は{-1/(1+x)+1/(1-1)}ですから双曲線が２つ重なったグラフとなり、xは指摘のつぎの３つの領域で考えられます。

なんですけど、どぅやって{-1/(1+x)+1/(1-1)}を求めて、そこから双曲線が2つ重なったグラフだと判断したんでしょう。。。？

＞(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)です。
これに対するx=tanAのAの範囲はそれぞれ
(-π/2,-π/4),(-π/4,π/4),(π/4,π/2)です。(2)
これに対するy(=tan2A)=2x/(1-x^2)の値域はそれぞれ
(0,+∞),(-∞,+∞),(-∞,0)です。

これもどうやって(-π/2,-π/4),(-π/4,π/4),(π/4,π/2)とそこから(0,+∞),(-∞,+∞),(-∞,0)になるのかわかりませんΣ(・ω・`；o)o

(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)をそれぞれx=tanAのAに代入するんでしょうか？でもそしたらtan(-∞)の答えは出てなぃ…とか考えたんですけど。。。

ほんとわからなくてすみません＞＜。

回答No.1

Willyt

y=arctan x とおくと倍角の法則を用いて

右辺第一項の括弧内=tan 2y となります。これを与式に代入すると

y=1/2・arctan(tan2y)+c=y+c

つまり c=0 のとき与式は成立するということになります。