不定積分の証明について教えてください。

質問

f(x) =C(定数)を微分すると、f´(x) =0 ですが、
その逆、f´(x) =0 のとき、原始関数f(x) =C(定数)になる。
これを証明するにはどのように証明したらいいのでしょうか。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

#2さんへ。あなたの仰る事は、全くその通りなのですが、積分操作を一種の方程式解法と見た場合、質問の趣旨は、いわば解の一意性の証明に相当するものなので、あなたのやり方は厳密には、質問を解決した後でないと使えない方法だと思います。自分は工学系出身なので、普段はこのような事は気にしませんが、ここは数学板だし、質問者様は、そのような事も考えた上での質問だと思います。

　質問は、

　　任意のxでf´(x) =0　⇒　f(x)は定数．

だと思いますが、対偶を取ってみますか（ここまで考えた人なら、当然対偶をとれると信じてます^^）。

　　f(x)は定数関数でない　⇒　任意のxでf´(x) =0というわけではない．

　そりゃそうですよね。fが定数でないなら、その関数値はどこかで変化するわけで、変化する点で微分したら、微分係数は当然0でないはずです（微分可能だとします）。この事実を端的に述べたのが、#1さんの仰る平均値の定理です。

　標準数学では、無限大や無限小の考えにつながる極限をとる微分操作は、どちらかと言うと鬼っ子で、無限大や無限小を用いない有限の言葉で、極限操作を厳密にフォローしようとします。だから戸惑う場面もあるとは思いますが、平均値の定理は上記を、有限区間の言葉で述べただけです。当たり前じゃないですか？^^。

　ただし、平均値の定理を成り立たせる条件については、注意して下さいね。それは定理の冒頭に書いてあるはずだし、いわゆる微積分学が、どの範囲を狙った理論であるかは、そこを読めばけっこう如実にわかります。

お礼

おかげで、何とか解決できました。ありがとうございました。

回答No.2

hugen

f´(x) =0 のとき
∫[1,t]f '(x)dx=∫[1,t] 0 dx
f(t)-f(1)=0

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

OurSQL

ふつうは、平均値の定理を用いて証明します。

お礼

ヒントになりました。ありがとうございました。