不定積分の性質の証明

質問

不定積分の性質で有名な以下の公式
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx 　（ただし、kはゼロ以外の定数）

これの証明方法をご存知の方、ぜひ教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

sanori

最初の回答者です。
もう一つ。

ｇ（ｘ）　＝　ｋｆ（ｘ）
ｄＦ／ｄｘ　＝　ｆ（ｘ）
ｄＧ／ｄｘ　＝　ｇ（ｘ）

微分を
ｄＦ／ｄｘ　＝　ｆ（ｘ）
　＝　lim[h→0] ｛Ｆ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ）｝／ｈ
と定義する。
積分は微分の逆なので、
∫ｆ（ｘ）ｄｘ　＝　Ｆ（ｘ）　＋　定数１　　・・・（あ）

同様に、
ｄＧ／ｄｘ　＝　ｇ（ｘ）
　＝　lim[h→0]｛Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｇ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]｛ｋＦ（ｘ＋ｈ）－ｋＦ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0] ｋ［｛Ｆ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ）｝／ｈ］　　・・・（※１）
　＝　ｋｆ（ｘ）　　・・・（※２）
よって、
Ｇ（ｘ）　＝　∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ　＋　定数２
∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ　＝　Ｇ（ｘ）　－　定数２　　・・・（い）

また、式（あ）の両辺にｋをかけると、
ｋ∫ｆ（ｘ）ｄｘ　＝　ｋＦ（ｘ）　＋　ｋ・定数１　　・・・（う）

（い）と（う）は、左辺が同じなので、
Ｇ（ｘ）　－　定数２　＝　ｋＦ（ｘ）　＋　ｋ・定数１
Ｇ（ｘ）　＝　ｋＦ（ｘ）　＋　定数３
（終わり）

※１から※２に行くのがダメと言われてしまえば、それまでですが。

回答No.2

rabbit_cat

こういった、基本的な問題を証明するには、
そもそも、質問者さんが、不定積分というのをどう定義したのか、を知らないとできません。
下手に高級な定理を使うと、その定理自体が、そもそも証明したいことをい用いて証明されているかもしれません。（この場合は循環論法になってしまって、実際には証明になりません。）
というわけで、質問者さんの不定積分の定義を教えてください。

回答No.1

sanori

こんばんは。

たぶん、もっと良い証明方法はあると思いますが、
とりあえず、積の微分から導かれている部分積分を使えば、示すことができます。

Ｇ　＝　∫ｇ（ｘ）ｄｘ
Ｆ　＝　∫ｆ（ｘ）ｄｘ

∫Ｇｆｄｘ　＝　ＧＦ　－　∫ｇＦｄｘ

ここで、Ｇ＝ｋ（定数）とすれば、ｇ＝０

∫ｋｆｄｘ　＝　ｋＦ　－　∫０ｄｘ
　＝　ｋＦ
　＝　ｋ∫ｆｄｘ

ご参考になりましたら。