不定積分が分かりません。

質問

以下の不定積分の解き方が分かりません。分かる問題だけでも良いのでご教授願います。

1. ∫√(x-1)/√(x+1)dx
2. ∫(e^2x/(e^x+1))dx
3. ∫(12/(x^3-8))dx

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

#1です3を訂正します
1
∫{√(x-1)/√(x+1)}dx={√(x^2-1)}-log{x+√(x^2-1)}+C

2
∫[(e^{2x})/{(e^x)+1}]dx=(e^x)-log{(e^x)+1}+C

3
12/(x^3-8)={1/(x-2)}-{(x+1)/(x^2+2x+4)}-{3/(x^2+2x+4)}
だから
t=x^2+2x+4
とすると
dt=2(x+1)dx
∫{(x+1)/(x^2+2x+4)}dx=(1/2)∫(1/t)dt=(1/2)logt+c=(1/2)log(x^2+2x+4)+c
=log√(x^2+2x+4)+c

x+1=(√3)tant
とすると
dx={(√3)/(cost)^2}dt
3∫[1/{(x+1)^2+3}]dx=(3/√3)∫dt=(t√3)+c
=(√3)arctan{(x+1)/√3}+c

∫{12/(x^3-8)}dx
=∫[{1/(x-2)}-{(x+1)/(x^2+2x+4)}-{3/(x^2+2x+4)}]dx
=∫{1/(x-2)}dx-∫{(x+1)/(x^2+2x+4)}dx-3∫[1/{(x+1)^2+3}]dx
=log{|x-2|/log√(x^2+2x+4)}-(√3)arctan{(x+1)/√3}+C

お礼

助かりました。ありがとうございました！

回答No.1

muturajcp

1
t=x^2-1
とすると
dt=2xdx
∫{x/√(x^2-1)}dx=∫{1/(2√t)}dt=(√t)+c={√(x^2-1)}+c

t=x+√(x^2-1)
とすると
∫{1/√(x^2-1)}dx=∫(1/t)dt=(logt)+c=log{x+√(x^2-1)}+c

∫{√(x-1)/√(x+1)}dx
=∫{(x-1)/√(x^2-1)}dx
=∫{x/√(x^2-1)}dx-∫{1/√(x^2-1)}dx
={√(x^2-1)}-log{x+√(x^2-1)}+C

2
t=(e^x)+1
とすると
dt=(e^x)dx
∫[(e^x)/{(e^x)+1}]dx=∫(1/t)dx=logt+c=log{(e^x)+1}+c

∫[(e^{2x})/{(e^x)+1}]dx
=∫{(e^x)-[(e^x)/{(e^x)+1}]}dx
=∫(e^x)dx-∫[(e^x)/{(e^x)+1}]dx
=(e^x)-log{(e^x)+1}+C

3
12/(x^3-8)={1/(x-2)}-{(x+1)/(x^2+2x+4)}-{3/(x^2+2x+4)}
だから
t=x^2+2x+4
とすると
dt=2(x+1)dx
∫{(x+1)/(x^2+2x+4)}dx=(1/2)∫(1/t)dt=(1/2)logt+c=(1/2)log(x^2+2x+4)+c=log√(x^2+2x+4)+c
x+1=(√2)tant
とすると
dx={(√2)/(cost)^2}dt
3∫[1/{(x+1)^2+2}]dx=(3/√2)∫dt=(3t/√2)+c=(3/√2)arctan{(x+1)/√2}+c

∫{12/(x^3-8)}dx
=∫[{1/(x-2)}-{(x+1)/(x^2+2x+4)}-{3/(x^2+2x+4)}]dx
=∫{1/(x-2)}dx-∫{(x+1)/(x^2+2x+4)}dx-3∫[1/{(x+1)^2+2}]dx
=log{|x-2|/√(x^2+2x+4)}-(3/√2)arctan{(x+1)/√2}+C