※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:積分、逆三角関数の問いについて教えてください。)
微積の問題について教えてください
大学の微積の問題に困ってます。お願いします。
次の(4)(5)はどうといたらよいでしょうか?よろしくお願いします。
(1)x/1+x⁴を部分分数に展開せよ。
(2)x²+1∓√2xを平方完成せよ。
(3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ
(4)tan⁻¹(1+x√2)+tan⁻¹{1/(1+x√2)}の値を出せ。
(5)tan⁻¹{1/(1+x√2)}+tan⁻¹(-1+x√2)+C=tan⁻¹(x²)
と書ける。その理由と定数Cを決定せよ。
自分の解答
(1)~(3)はx/1+x⁴={1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)}
として、(2)を使い、
∫x/1+x⁴dx=1/2{-tan⁻¹(1+x√2)+tan⁻¹(-1+x√2)}+A (Aは積分定数)
という形で、(3)の答えが出ました。
(4)はtan⁻¹(1+x√2)=α、tan⁻¹{1/(1+x√2)}=βと置く。
tanαtanβ=1より、
sinαsinβ/cosαcosβ=1
⇔cosαcosβ-sinαsinβ=0
⇔cos<α+β>=0
⇔α+β=(π/2)×n (nは自然数)・・答
となりました。
(5)は、c=0と計算上、出ました。しかし、とても煩雑な計算でした。筋の良い計算方法はありますでしょうか?また、(5)と書ける理由がわかりません。x²が平方完成したときに出てきたり、tan⁻¹{1/(1+x√2)}+tan⁻¹(-1+x√2)は(4)と似ていますが、何から由来して、(5)のようにかけるのでしょうか?
(4)(5)の解答、不明点について、教えてください。
よろしくお願いします。
補足
<5>のように書ける理由はどういう理由なのでしょうか? ご教授願います