青チャートIIIの例題216について

質問

f(x)は連続な関数、aは正の定数とする。

(1) 等式∫[0,a] f(x)dx = ∫[0,a] f(a-x)dxを証明せよ。
(2) (1)を用いて、定積分∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dxを求めよ。

とありました。手がつきませんでした。
解説をみてとりあえず1は置換積分をして積分変数をf(t)dtを定積分だからf(x)dxに変えて一致する。という説明で何となく納得できました。

でも定積分だからfのカッコ内の値がいくつでもいいという具体例のようなものを実際にお教えいただければ幸いです。『とりあえず書き換えちゃっていいよ』的なノリでしか理解していないので本質がまったくわかっていません。

また、2の解説では1の関係と

f(x)+f(a-x)=1を使う。

とありました。

確かに足し算すれば1になったのですが変数を足してみたらたまたま1になったからこの等式を利用して積分を行っているということなのでしょうか？

あるいは、関数の連続性という性質から何がなんでも基本的に

f(x)-f(a-x)=1
という定義なのでしょうか？
さっぱりわからなかっただけに解説が意図していることがわからず悩んでいます。

解答解説の上記2点が意味がわかっていないので答えというよりも上記の考え方をご指導いただければ幸いです。

また、この

置換積分を利用した定積分の等式の証明
におけるわかりやすい解説動画やサイトなどがあれば初学者でも見れるようなものだと大変助かるのでお教えいただければ幸いです。

長くなりましたが理解したいのでいつでもよろしいのでご指導お願いできれば幸いです。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

定積分の時のdtのtは
∫[0,a] の後からdtまでの内部変数なので、
変数名はアルファベットであれば何でもよいので
tをxに変えても(外部変数のxとは違うので)よいのです
fのカッコ内の値がいくつでもいいというわけではありません

(e^x) / (e^x + e^(a-x))
={e^x+e^(a-x)-e^(a-x)}/(e^x + e^(a-x))
={e^x+e^(a-x)}/{e^x + e^(a-x)}-{e^(a-x)}/(e^x + e^(a-x))
=1-{e^(a-x)}/(e^x + e^(a-x))
という変形ができるから
f(x)+f(a-x)=1を使うのです
そうでなければ使えません

(1)
t=a-x
とすると
dt=-dx
dx=(-1)dt
x=0の時t=a
x=aの時t=0
だから
∫[0,a] f(a-x)dx
=∫[a,0] f(t)(-1)dt
=(-1)∫[a,0] f(t)dt
=∫[0,a] f(t)dt
=∫[0,a] f(x)dx

(2)
∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dx
=∫[0,a] {1-e^{a-x}/ (e^x + e^(a-x)) } dx
=∫[0,a] dx-∫[0,a] {e^{a-x}/ (e^x + e^(a-x)) } dx
=a-∫[0,a] {e^x/ (e^{a-x} + e^x) } dx

2∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dx=a
∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dx=a/2

お礼

大変なご足労をおかけしすみません！！お陰様でようやくちんぷんかんぷんだったのが意味の理解ができました。

またわからないときに是非ご指導いただければ幸いです。

ありがとうございました。

回答No.2

f272

(1)
y=f(x)という曲線とy=f(a-x)という曲線がx=a/2という直線に関して対称だから
∫[0,a] f(x)dx = ∫[0,a] f(a-x)dx
が成り立つのです。
(2)
f(x)+f(a-x)がたまたま1になったというよりは，f(x)+f(a-x)が1になるような関数f(x)=e^x / (e^x + e^(a-x))を考えたということです。

お礼

非常にわかりやすいご説明ありがとうござます。