定積分の問題です。

質問

定積分の問題です。
画像にある問題の解き方について、
「a=∮[0→2]|g(t)|dt、b=∮[0→1]f(t)dt
とおいたとき、
f(x)=xe^x+2ax-1
g(x)=x^2-bx
a=∮[0→2]|t^2-bt|dt
b=∮[0→1](te^t+2at-1)dt」
ここまでで間違っているところはありますか？
この後おそらく、b=∮[0→1](te^t+2at-1)dtを解いてb=aとしたいのですが、どうしても計算が合わないのです。昨日この問題の解き方について質問をした際、頂いた回答では
「f(x)=xexp(x)+2ax-1」
「f(x)=x*exp(x)+2Ax-1」
のようにp(x)を使われていたのですが、それは何故でしょうか？

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>f(x)=xe^x+2ax-1
>g(x)=x^2-bx
>a=∮[0→2]|t^2-bt|dt
>b=∮[0→1](te^t+2at-1)dt」
>ここまでで間違っているところはありますか？
積分記号以外は合っています。
∮は周回積分だけに使う記号ですから通常の積分の記号としては使って駄目です。

>この後おそらく、b=∮[0→1](te^t+2at-1)dtを解いてb=aとしたいのですが、どうしても計算が合わないのです。
途中計算は昨日の回答にお書きしました。
どこでつまずいてるのかわかりませんので,補足コメントにあなたの途中計算を
書いてどこがわからないか質問してください。

>「f(x)=xexp(x)+2ax-1」
>「f(x)=x*exp(x)+2Ax-1」
>のようにp(x)を使われていたのですが、それは何故でしょうか？
p(x)ではないです。
指数関数は2通りの書き方がありますので覚えておいてください。
exp(x) ≡ e^x
左辺と右辺は同じ関数の別の書き方です。
f '(x) ≡ df(x)/dx ≡ {f(x)}' なども同じ関数の微粉(導関数)の別の書き方です。

以下は左辺と右辺は同じ関数の別の書き方です。指数部の範囲のわかりやすさ
や複雑な指数部の指数関数の書き方として適宜使い分けられています(世界共通)
。
exp(x)+1=e^x+1
exp(x+1)=e^(x+1)
exp((1/2)(x-m)^2/a^2)/√(2πa)=e^((x-m)^2/(2a^2))/(2πa)^(1/2)
など

お礼

気付きました…。[0→1]なので、0を代入しても0だから関係ないといういつもの癖で0を代入して計算するのを省いていました…。e^xに0を代入したら1になるということを失念していました、申し訳ありません…。大変お騒がせ致しました、前回の質問から引き続き御丁寧な回答を賜り、本当に感謝しております。ありがとうございました（ ; ; ）

補足

exp(x)≡e^x という書き方があるのですね、勉強になりました。他の例も教えて頂きありがとうございます。無知で申し訳ありません…。∮のご指摘もありがとうこざいます、気をつけます。
問題の計算ですが、
b=∫[0→1](te^t+2at-1)dt
=[(t-1)e^t+at^2-t][0→1]
=0+a-1
=a-1
となってしまいます。
(t-1)e^tにt=1を代入すると0ではなくて1になるのでしょうか？それとも他の部分でミスをしていますか？重ね重ね申し訳ないです。ミス部分の指摘をお願い致します。

回答No.2

dialectic

p(x)ではなく、"exp(x)"なのではないでしょうか？
e^xのことを、"exp(x)"のように表記する方法があります。
意味はe^xと同じです。

ところで、
私は|g(t)|の定積分（求めたい定積分）をＡとおいて、
f(x)＝xe^x＋2Ax－１とし、xをtとみて、
f(t)＝te^t＋2At－１・・・（１）
これを2つ目のg(x)＝の式に代入し、
積分変数tについて定積分計算実行。
そうすると、
g(x)＝x^2ーAxとなるので、xをtとみて、
g(t)＝t^2ーAt・・・（２）
これを最初のA（求めたい定積分）に代入し、
積分変数tについて定積分計算実行。
絶対値に注意して、g(t)は2次関数なので、
グラフを描きながら場合分けしました。
（A＞２ or A≦２で場合分け）

結果、A＝2Aー8/3となり、これを解いて答えは「8/3」となりました。

お礼

そのような表記の仕方があるとはつゆ知らず、手間を取らせてしまい申し訳ないです。勉強になりました、ありがとうございます。
理解できたらまた、dialectic様の解き方でもとりかかってみたいとおもいますので、参考にさせて頂きます。回答ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

回答した本人でも何でもありませんが…。

＞p(x)を使われていたのですが、それは何故でしょうか？

exp(x)のことですね？
自然対数の底であるeの何とか乗という意味でありましょう。

お礼

そのような表記の仕方があるのですね、勉強になりました。忘れないようしておきます。回答ありがとうございました！