積分の問題が分かりません。

質問

等式　f(x) = x^2 - ∫[0から1]{(x-t)f(t)}dt を満たす関数f(x)を求めたいのですが・・・。

　∫[0から1]{(x-t)f(t)}dt を定数 a と置き換えて、f(x)、f(t)、a、と順次求めていき、
最後に a の値を f(x) の式に代入して答えを求める、というように考えるのかと思いました。

　でも計算してみたら a = (3-4x)/(5-12x) となり、行き詰ってしまいました。

　どのようにしたら解けるのでしょうか。

　お願いいたします。

回答No.5

yhposolihp · ベストアンサー

>>f(x)=(x^2)-∫[0,1]{(x-t)f(t)}dt

定数と変数を意識して分離します。
結果が二次式と予測できそうです。
　f(x)=(x^2)-x∫[0,1]f(t)dt+∫[0,1]tf(t)dt

　∫[0,1]f(t)dt=A, ∫[0,1]tf(t)dt=B　と置きます。

　f(x)={(x^2)-Ax+B}　と書けるので、
　ひたすら計算します。

　∫[0,1]{(t^2)-At+B}dt=A
　{(1/3)(t^3)-(1/2)A(t^2)+Bt}[0,1]=A
　(1/3)-(1/2)A+B=A
　2-3A+6B=6A
　　　　(1) -9A+6B+2=0

　∫[0,1]t{(t^2)-At+B}dt=B
　∫[0,1]{(t^3)-A(t^2)+Bt}dt=B
{(1/4)(t^4)-(1/3)A(t^3)+(1/2)B(t^2)}[0,1]=B
　　(1/4)-(1/3)A+(1/2)B=B
　　　3-4A+6B=12B
　　　　(2) -4A-6B+3=0

　(1) -9A+6B+2=0
　(2) -4A-6B+3=0
　　　　　-13A+5=0
　　　　　　　　　A=(5/13)

　(1)' -36A+24B+8=0
　(2)' -36A-54B+27=0
　　　　　　　　78B-19=0
　　　　　　　　　　　　B=(19/78)

　f(x)=(x^2)-(5/13)x+(19/78)　となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　詳細なご解説をいただき、ありがとうございます。

　また、積分する範囲の正しい表記の仕方も知ることができ、勉強になりました。

　ご解説に沿うように自分でも解いていくことができました。

　本当に、ありがとうございました。

回答No.4

info22

{(x-t)f(t)}dt = x{f(t)dt)}- {tf(t)dt} だから

f(x) = x^2 - ∫[0から1]{(x-t)f(t)}dt
=x^2 - x*∫[0から1]{f(t)}dt +∫[0から1]{tf(t)}dt
=x^2 - a*x + b …(1)
と置くと

a=∫[0から1]{f(t)}dt=∫[0から1]{t^2 -a*t + b}dt
=[(t^3)/3 -(a/2)*t^2 +b*t] [0から1]
=(1/3)-(a/2)+b
6a=2-3a+6b
9a=6b+2…(2)

b=∫[0から1]{t*f(t)}dt=∫[0から1]{t^3 -a*t^2 + b*t}dt
=[(t^4)/4 -(a/3)*t^3 +(b/2)*t^2] [0から1]
=(1/4)-(a/3)+(b/2)
12b=3-4a+6b
6b=3-4a…(3)

(2)と(3)をa,bの連立方程式として解くと
9a=3-4a+2
13a=5
a=5/13
6b=3-(20/13)=19/13
b=19/78

(1)にa,bを代入
f(x)=x^2 -(5/13)*x +(19/78)

お礼

ご回答ありがとうございます。

　詳しく解説していただき、本当にありがとうございます。

　ポイントを差し上げられなくて申し訳ございません。

　回答者様の貴重なお時間を割いていただいたのに・・・と、申し訳ない気持ちでいっぱいです。

　ご解説にしたがって自分でも計算してみたところ、答えが一致してほっとしています。

　・・・本当に、ありがとうございました。

回答No.3

debut

∫[0から1]{(x-t)f(t)}dt はもう少し変形して
∫[0から1]xf(t)dt－∫[0から1]tf(t)dt
（前半はtについての積分なのでｘは定数と見て∫の前に出せて）
　→ x∫[0から1]f(t)dt－∫[0から1]tf(t)dt
としてから　∫[0から1]f(t)dt=a・・(1)、
∫[0から1]tf(t)dt=b・・(2)
と置けば、f(x)=x^2-ax+bとできて、(1)(2)に代入すればa,bが
決められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

　記述の一つ一つに、なるほど・・・と頷きながら読ませていただきました。

　私は数学が苦手ですが、回答者様のご回答は
（この前のときも）すごく分かりやすくて嬉しいです。

　本当に、ありがとうございました。

回答No.2

velvet-rope

∫[0から1]{(x-t)f(t)}dtを定数aと置き換えて
とありますが、(x-t)f(t) = xf(t) - tf(t)なので、∫[0から1]{(x-t)f(t)}dt
はxによって変化します。xと無関係な定数と置き換えることはできません。

まず、f(x)が何次関数かを考えるべきです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞xと無関係な定数と置き換えることはできません。

　私はとてもマヌケですね。

　定数でないものは、定数に置き換えられないですよね・・・。

　すごく参考になりました。

　ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

最後の積分は x が残るから「定数」ではありません.
１．両辺を微分して微分方程式にする.
２．工学系なら Laplace 変換.
３．∫f(t)dt, ∫ t f(t) dt はどちらも定数なので, これを文字でおく.
くらい?

お礼

ご回答ありがとうございます。

　方法が３つもあったのですね・・・。

　定数を文字で置くぐらいしか頭に浮かびません。

　（自分が）回答者様のように数学ができる人だったらよかったのに・・・と思います。

　ありがとうございました。