定積分についての質問なんですが

質問

次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
f(x)=6x´2ー2＋∫(-1～1)f(t)dt
という問題で

F'(t)=f(t)とすると
∫(-1～1)f(t)dt=[F(t)](-1～1)=F(1)-F(-1)であるから∫(-1～1)f(t)dtは定数である.
と解説に書いてあるんですが、これでなぜ定数になるとわかるんでしょうか？

それとですが
この後
∫(-1～1)f(t)dt=a (aは定数)と置くんですが、わざわざ定数としなければいけない理由はなんなのでしょうか？

解説よろしくお願いします

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞∫(-1～1)f(t)dt=a (aは定数)と置くんですが、わざわざ定数としなければいけない理由はなんなのでしょうか？

先に、こちらから。

#1さんの説明でも十分っちゃ十分なんですが…

解答の続き見ました？(あ、ひょっとしたら、問題集で、
略解になっていて、答とヒントだけがあるのかな？)

この先、∫[-1,1]f(t)dt を求めるのに、
方程式を解かないといけない、ということは、
この式を何度も書かないといけない、ことに。
それは、さすがに面倒ですよね。だから、
文字１つで表しておこう、ということです。

あるいは、文字１つで表しておけば、続きで、
方程式を解いてみよう、という発想になりやすい、
こっちは、#1さんの説明ポイントに近いですね。

＞F'(t)=f(t)とすると
＞∫(-1～1)f(t)dt=[F(t)](-1～1)=F(1)-F(-1)であるから∫(-1～1)f(t)dtは定数である.
＞と解説に書いてあるんですが、これでなぜ定数になるとわかるんでしょうか？

#1さんの回答通りですが、もう少し踏み込むと、

不定積分・原始関数・∫f(x)dx は、xの関数になりますよね。
問題のように、変数がtでも、∫f(t)dt は、tの関数です。

それに対して、定積分・∫[a,b]f(x)dx は、
ザックリ言えば、y=f(x),x軸(y=0),x=a,x=bで囲まれた面積
(x軸より下にある部分は、面積マイナスと考えると、完全に
定積分そのものです)ですから、
xの関数が答に出てくるようでは、面積がスッキリ
決まらないことになって困る、というより、
スッキリ決まるように計算をしている訳だから、
多分、最初から何かやり方を間違えているはず、
ということになります。
つまり、a,bとかいう文字が出てきたとしても、
変数xなどとは関係ないので、定数になる、
だから、定積分は原則定数、ということです。

∫[a,b]f(t)dt も、被積分関数と積分する変数の
文字を変えただけだから、やはり、本質的に定数です。

その例外となるのは、
f(x)=～+∫[a,x]f(t)dt のように、
全体がxの関数の関数の話をしているときに、
定積分の積分範囲に、xの式が入っているようなとき、
∫[a,b]f(t)dt が、aやbの式になるのと同様、
∫[a,x]f(t)dt は、aやxの式になる、
こういう場合は、xの式の部分は、全体のxに関係ない、
(積分に使った変数tと関係ないのは前と同じですが)
という訳にはいかない、xの関数としてみてやらないと
いけない、ということです。
そこらへんを学校でやっているところなら、
今の次の段階で出てくるので、違いに気を付けてください。

問題の∫[-1,1]f(t)dt は、tでの定積分だから、
結果には、tは出てこない、積分範囲が、a,bどころか、
-1～1なので、普通の値として出てくる、完全な定数、
ということは、解答に書いてある筋道を経なくても、
当たり前、と、思えるようにならないと、おおげさに
言えば、定積分が解ったことにはならない、と考えた
方がいいかと思います。

ついでに言っておくと、
∫[a,t]f(t)dt、∫[a,x]f(x)dx というような式ですが、
定積分する中身の変数と、積分範囲に書く文字は、
意味・レベルが違うので、こういうふうに書くと、
数学として間違いという訳ではないのですが、
紛らわしいので、できるだけ書かないという
お約束になっています、単なるお作法というより、
こんな具合に書いて自分で勘違いしたりしたら、
目も当てられない、ということで。

また、問題のような式、
f(x) = ～ + ∫[a,b]f(t)dt で、

定積分部分を、∫[a,b]f(x)dxと書いてはいけない
訳じゃない、ただ、どのみち、定積分で、そこの
変数は消えてなくなる訳だし、別の変数を使った
方が、全体の変数xと勘違いしなくていいでしょ、
ということで、別の文字をあてるのが、慣れない
内は変に思えるかもしれませんが、常道。
ちなみに、こういうとき、tを使うことが、多いのは、
一時的に(Temporary)使う変数だから、です。

ついでに、その1つ先の次あたりで出てくる
∫[a,x]f(x-t)dtのような形について、
注意しておくと、

特別に、xがtの関数になっていれば、
そう直して計算しますが、でない限り、
積分はtについてする、ということは、
積分の内側では、xは定数(何度も書いて
ますが、念のため、繰り返すと、
1とか2とか値が決まっているという
ことでなく、tとは関係がない、
tを決めるとxが決まる、というような
関係のない文字だ、という意味です)
、だから、普通に、xの関数の中での、
a,b,cなどと同じに考えて計算します。

お礼

遅くなりましたが
詳しく解説していただきありがとうございました！

回答No.1

noname#158987

＞F'(t)=f(t)とすると
∫(-1～1)f(t)dt=[F(t)](-1～1)=F(1)-F(-1)であるから∫(-1～1)f(t)dtは定数である.
と解説に書いてあるんですが、これでなぜ定数になるとわかるんでしょうか？

そのままのように思いますけど。
F(1)-F(-1)ですよね？
関数に具体的に数値が入っているのですから、定数だと思いますよ。

＞∫(-1～1)f(t)dt=a (aは定数)と置くんですが、わざわざ定数としなければいけない理由はなんなのでしょうか？
定数としなければいけないのではなく、上記のように定数なんですよ。
で、定数だけれども見た目が定数っぽくないから、aと置き換えてすっきりさせて
問題を解きますってことだと思いますよ。