xf(x)＝3x^2＋4xの両辺をxで割る

質問

次の等式を満たす関数f(x)および定数aの値を求めよ。
∫(下端1、上端x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋a

という問題で、両辺をxで微分して、xf(x)＝3x^2＋4xとなるところまではいいのですが、その後どうして両辺をxで割ってしまっていいのでしょうか？
x＝0のときを考えなくてもいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.6

alice_44

＞ 特に断らなくてもf(x)は連続とするのでしょうか…？

「特に断らなくてもf(x)は連続」は、高校数学であっても流石にマズイです。
A No.3 のような答えを期待している(高校生向けには難度が高すぎる気がするが)か、
単に問題文に「f(x)は連続」と書き忘れた、または、出題者自身がよく解ってない
(こっちのほうが、ありがちかな？)かのどちらかだと思います。

＞ 実際、最初の式∫(1,x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋aでx＝0とすると、

それは、xf(x)=3x+4 の x と ∫(1,x)tf(t)dt=x^3+2x^2+a の x とを混同するから
混乱するのです。 xf(x)=3x+4 は tf(t)=3t+4 と書いてもいいし、
∫(1,x)tf(t)dt=x^3+2x^2+a は ∫(1,z)tf(t)dt=z^3+2z^2+a とも書けます。
tf(t)=3t+4 の両辺を t で割ろうとして t=0 かどうかで場合分けする話と
∫(1,z)tf(t)dt=z^3+2z^2+a に z=0 を代入する話には、何の関係もありませんね？

(A No.4 末尾については、x=0 のときの a と x≠0 のときの a がある訳ではない
という話ですよ。)

お礼

ありがとうございました。
理解できました。

参考書の解答は、『xf(x)＝3x^2＋4x』から、何も間に挟まず、『したがって、f(x)＝3x＋4』としているんですよね；

助かりました。
ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

A No.3 さんの言う通りです。

印象として、これは高校生向きの問題
のような気がするのですが…
高校では、不連続関数の積分を習いませんから、
質問文には省略されていますが、
出典には「f(x) は連続」という条件が
与えられていたのではないかと思います。

その場合、f(0) = lim[x→0] f(x) = 4 から
f(0) が決まり、全ての x で f(x) = 3x+4 と
合流することになります。

(A No.4 は、最下行での a の扱いを見ると、
x=0, x≠0 で場合分けした意味が解っていない
ようですね。)

お礼

回答ありがとうございます。

はい。高校生向けの参考書の問題です。ただ、問題文は質問文として載せたものですべてです。特に断らなくてもf(x)は連続とするのでしょうか…？

f(x)が連続の場合の、極限値から求めるのは理解できたのですが、いろいろとよくわかりません(;_;)

f(x)がx＝0で不連続だとしても、すべてのxにおいてxf(x)＝3x^2＋4xが成り立つから、∫(1,x)tf(t)dt＝∫(1,x)(3t^2＋4t)dt＝x^3＋2x^2－3＝x^3＋2x^2＋aより、すべてのxでa＝－3ですよね…？
『x＝0のとき、f(x)は任意の値』というのは、xf(x)＝3x^2＋4xが、x＝0のときf(x)がどんな値でも成り立つからだと思うのですが、実際、最初の式∫(1,x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋aでx＝0とすると、f(t)の値によってaが変わりますよね…？
なんだかよくわからなくなってきました(>_<)

回答No.4

info22_

∫(1,x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋a
xf(x)の原始関数をG(x)とおくと
∫(1,x)tf(t)dt＝G(x)-G(1)＝x^3＋2x^2＋a …(1)
xで微分して
G(x)＝G(1)+x^3＋2x^2＋a …(2)
G'(x)＝xf(x)＝3x^2+4x
x(f(x)-3x-4)＝0 …(3)

x≠0のとき
(3)から
　f(x)=3x+4 (x≠0)
∫(1,x)tf(t)dt＝∫(1,x) t(3t+4)dt＝x^3＋2x^2-3＝x^3＋2x^2＋a
x=1とおくと　0=3+a ∴a=-3

x＝0のとき
　f(0)は決らないが任意の定数。
　f(0)は積分に影響しないので定数aはx≠0のときのaと同じa=-3

お礼

回答ありがとうございます。

x＝0のとき、f(x)は任意の定数というのは、xf(x)＝3x^2＋4xが、x＝0のときf(x)がどんな値でも成り立つからだと思うのですが、実際、最初の式∫(1,x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋aでx＝0とすると、f(t)の値によってaが変わりますよね…？
なんだかよくわからなくなってきました(>_<)

回答No.3

momordica

ご指摘ごもっともです。
x=0のときは分けて考えるべきですね。

f(x)={
　3x+4　(x≠0)
　任意の実数　(x=0)

とするのが正しいと思います。
f(0)の値が何であれ、xf(x)は同じ関数になり、条件を満たしますから。

f(x)が連続だとか微分可能だとかいう条件が付けばまた別ですが、
その場合も、とりあえずx≠0の範囲で関数を求めて、f(0)については
そのx→0のときの極限として値を求めるべきだと思います。
x=0の場合も含め、いきなりxで割っていいということはありません。

お礼

回答ありがとうございます。

f(x)が連続の場合の、極限値から求めるのは理解できたのですが、いろいろとよくわかりません(;_;)

f(x)がx＝0で不連続だとしても、すべてのxにおいてxf(x)＝3x^2＋4xが成り立つから、∫(1,x)tf(t)dt＝∫(1,x)(3t^2＋4t)dt＝x^3＋2x^2－3＝x^3＋2x^2＋aより、すべてのxでa＝－3ですよね…？
『x＝0のとき、f(x)は任意の値』というのは、xf(x)＝3x^2＋4xが、x＝0のときf(x)がどんな値でも成り立つからだと思うのですが、実際、最初の式∫(1,x)tf(t)dt＝x^3＋2x^2＋aでx＝0とすると、f(t)の値によってaが変わりますよね…？

回答No.2

Tacosan

説明としては
上端の x は任意だから
の方が適切な気がします＞#1.

回答No.1

Takuya0615

ｘの下限値が１なので、ｘ＝０を考えなくていいから。

お礼

回答ありがとうございます。

でも、下端より上端が大きくなければいけないわけじゃないですよね。どうして1以"上"と決まるのでしょうか？