回転体の体積

質問

こんにちは。
　問題で、等式f(x)=x^2+インテグラル（上端１、下端0）e^tf(t)dtを満たしている。
関数f(x)を求めよ。
関数y=|f(x)|のグラフと、直線ｙ＝a（ただし、a>=1)とで囲まれる図形を、y軸のまわりに
回転してできる回転体の体積をaで表せ。

　関数f(x)は、f(x)=x^2-1とでました。
　後半戦の式が、
　　どう立てるのか知りたく。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f(x)=x^2+∫[0,1] f(t)e^t dt ...(1)
∫[0,1] f(t)e^t dtは定積分なので定数である。
∫[0,1] f(t)e^t dt=C（Cは定数）...(2)
とおくと(1)は
　f(x)=x^2+C ...(3)
(3)を(2)に代入して
　C=∫[0,1] (t^2+C)e^t dt=C(e-1)+e-2
　C(2-e)=e-2
　∴C=-1
(3)より
　f(x)=x^2 -1 ...(3)

>関数f(x)は、f(x)=x^2-1とでました。
(3)と一致するので合ってますね。

後半ですが、回転体の体積Vは、
V=π∫[0,a] (y+1)dy -π∫[0,1] (1-y)dy
=V1-V2

(前半は回転体の外側の側面の半径xの円板の面積
=πx^2=π(y+1)をy=0～a(a≧1)まで積分した立体の体積V1
から
くり抜き部分の体積V2を引いてやればいいという式を表しています。
くり抜き部分の体積V2は、回転体の断面円板の面積
=πx^2=π(1-y)をy=0～1まで積分することによって得られます。

V=V1-V2=π[y^2/2+y][0,a] -π[y-y^2/2][0,1]
=π{(a^2/2)+a-(1-(1/2))}
=(π/2)(a^2+2a-1) ...(後半の答え)

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。

回答No.1

kaztel-D4C

y=|x^2-1|のグラフを描きます。
すると、-1≦x≦1の範囲では、f(x)=-x^2+1ですから、y=aはf(x)より上にあります。
ここから、f(x)=x^2-1(ただしy≧0)とy=aで囲まれる部分を回転させ体積を出し、次いでf(x)=-x^2+1とx軸で囲まれる部分を回転させ体積を出し、前者から後者を引けば出ます。

式としては、
前者=インテグラル(上端a、下端0){πx^2}dy
です。回転体の半径はxですから、断面積はπx^2ですよね。
しかし、今はyについての積分なので、y=x^2-1から、x^2=y+1とし、改めて式を書くと
インテグラル(上端a、下端0)π(y+1)dy
これで被積分関数もyに関する式となり、積分が出来ます。

後者も同様に式を立てると、
後者=インテグラル(上端1、下端0)π(-y+1)dy
となります。

あとは引き算をして、aの式になれば完成です。

お礼

ありがとうございます。