数II 積分の問題です。

質問

f(x)=-2+x+x^2∫【0からa】{f(t+1)-f(t)}dt
ただしaが定数、∫【0から1】f(t)dt=-5/6のとき
(1)∫【0からa】{f(t+1)-f(t)}dtの値
(2)aの値
(3)F(x)=∫【0からx】f(t)dtとするとき、lim【h→0】F(3+h)-F(3)/hの値
を求める問題です。
(1)は＝文字とおいて、∫【0から1】f(t)dt=-5/6を利用するのは分かるのですが、式の変形ができなくて・・；

教えてください；よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

特に難しい計算も無いです。
問題が間違いでなければ…

貴方の考え通り
f(x) = -2 + x + (x^2)S と置いて、
-5/6 = ∫[0～1] f(t)dt
　= ∫[0～1] { -2 + x + (x^2)S }dt
　= -2 + 1/2 + S/3
となり、S = 2 です。

f(x) = -2 + x + 2x^2 ですから、
2 = S
　= ∫[0～a] { f(t+1) - f(t) }dt
　= ∫[1～a+1] f(t)dt - ∫[0～a] f(t)dt
　= -2a + (1/2){ (a+1)^2 - 1 } + (2/3){ (a+1)^3 - 1 } + 2a - (1/2)(a^2) - (2/3)(a^3)
　= 2a^2 + 3a
二次方程式を解いて、a = -2 または 1/2。

導関数の定義より、
lim[h→0] { F(3+h) - F(3) }/h = F ' (3)。
微積分の基本定理より、
F ' (3) = (d/dx) F(x) [x=3]
　= (d/dx)∫[0～x] f(t)dt [x=3]
　= f(3)
　= -2 + 3 + 2(3^2)
　= 19。

宜しかったら、どの辺の式変形ができなかったのか
補足いただけると、今後の参考になります。

補足

ありがとうございます!
(1)は積分するときに-2にtをつけ忘れていました；
(2)は(1)を利用すれば簡単にできる問題でしたね・；
(3)なんですが、Ｆ´(3)以下の変形がいまいち理解できなくて・・
(d/dx)∫[0～x] f(t)dt [x=3]　がどうしてf(3)になるのでしょうか・・？
自分の知識が浅くてすみません；
教えてもらえると嬉しいです、よろしくお願いします。

回答No.7

naniwacchi

問題文は元のとおりであっていたのですね。

d/dxはまだ記号として習っていないかもしれないですね。
その記号を使わない形で以下に記しておきます。

∫f(x)dx= F(x)+Cとおくと、F'(x)= f(x)…(1式)となります。
（積分と微分が互いに逆の演算になっていることを表しています。Cは不定積分の定数項です。）

lim[h→0] {F(x+h)-F(x)}/h は微分係数の定義式と同じ形になっています。
すると、この式の値は(1式)と合わせることで F'(x)= f(x)と書くことができます。
いまは、x=3ですので代入して f(3)を計算することになります。

回答No.6

info22

#2、#5です。
>(d/dx)∫[0～x] f(t)dt [x=3]　がどうしてf(3)になるのでしょうか・・？
∫f(x)dx=F(x)とおくと
(d/dx)F(x)=f(x)
となることはお分かりですね。

(d/dx)∫[0～x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(0)}=f(x)

ここで [x=3]とおけば
f(3)となりませんか?

お分かり？

お礼

早速ありがとうございます!!!
すごくよく分かりました；

回答No.5

info22

#2です。
問題が正しいとして
f(x)=-2+x+(x^2)∫[0,a]{f(t+1)-f(t)}dt
と考えると

この場合は
A#3の(1),(2),(3)は
以下のように訂正して下さい。

(1)g(a)=2
(2)a=-2, 1/2
(3)19
となります。

これは、#4さんの結果と一致しますので途中計算は略させて頂きます。

お礼

ありがとうございます(^_^)
(1)は積分するときに-2にtを付けるのを忘れていて出来ていませんでした；
答えはこちらのほうで合っています。
ありがとうございました!

回答No.3

naniwacchi

#2の方の指摘どおり、問題文に間違いがないか確認の上補足お願いします。

問題文に間違いがないとして解くと、答えが
(1)は自然数
(2)は整数と分数（２とおり）
(3)は自然数
となりました。

(3)ですが、
・lim【h→0】F(3+h)-F(3)/hの形が微分係数を求める形になっていること
・F(x)が積分の式であること
これら2点がポイントです。
素直に計算してもいいですし、微分と積分の関係からすっと答えを出してもいいかと思います。

回答No.2

info22

>∫[0,1] f(t)dt=-5/6のとき
となりません。
∫[0,a] f(t)dt=-5/6
の間違いでないか、確認して下さい。

そうなら
(1)　a^2+2a=5/4 or 5
(2) a=1/2, -1±√6
(3) 10
となるかと思います。
特に難しい計算も無いと思います。

分からなければ、そこまでの途中計算を補足に書いた後、行き詰って分からない所を質問して下さい。

回答No.1

naniwacchi

∫【0からa】{f(t+1)-f(t)}dt＝Pとでも置くことにすると、
f(x)はどのように書けますか？（Pはx^2の係数とみれば）

それをf(t)などに「戻してあげる」ことをします。
係数が関数自身により与えられる形となるので、混乱しないように注意してください。
（何を文字に置き換えて、何を計算しているのか）